Удовольствие от Х (Строгац) - страница 69
Векторы, как и числа, можно складывать и вычитать, но наличие направленности делает их более сложными. Тем не менее сложение векторов становится более понятным, если вы представите его в виде инструкции по танцам. Например, что получится, если сначала вы делаете один шаг на восток, а следующий на север? Естественно, вектор, который указывает на северо-восток.
Примечательно, что скорость и сила ведут себя так же: они складываются, как и танцевальные шаги. Это должно быть знакомо любому теннисисту, который когда-либо пытался подражать Питу Сампрасу и бил по мячу справа снизу от линии, когда бежал на полной скорости к боковой линии. Если направить мяч без учета своего движения, то удар будет неточным. Скорость мяча по отношению к корту — это сумма двух векторов: скорости мяча относительно вас (вектор, направленный снизу от линии, как и предполагалось) и вашей скорости относительно корта (вектор, направленный в ту сторону, куда вы бежите). Чтобы отбить мяч в нужном направлении, необходимо целиться в противоположную половину поля противника, чтобы компенсировать боковое движение.
За пределами векторной алгебры лежит векторное исчисление: раздел математики, который использовал господин Дикурцио. Вы помните, что любое исчисление — это математика перемен. Поэтому векторное исчисление должно включать в себя изменение векторов во времени и пространстве. В последнем случае говорят о «векторном поле».
Классический пример векторного поля — силовое поле вокруг магнита. Для его демонстрации положите магнит на лист бумаги и начните сыпать на него железные стружки. Каждая стружка ведет себя как маленькая стрелка компаса, и ее направление совпадет с направлением локального «севера», определяемого магнитным полем в этой точке. Совокупность стружек создает захватывающую картину силовых линий магнитного поля, которые пролегают от одного полюса магнита к другому.
Направления и величины векторов в магнитном поле меняются от точки к точке. Как и во всех исчислениях, ключевым инструментом для количественного расчета таких изменений является производная. В векторном исчислении оператор производной называется «дельта» — от греческой буквы ∆ (дельта), обычно используемой для обозначения изменений в отдельных переменных. Как напоминание о родственных связях, в векторном исчислении также применяется перевернутый треугольник ∇. (Это тот самый таинственный перевернутый треугольник учителя Дикурцио, который он несколько раз нарисовал на салфетке и который называется «набла».)
Оказывается, существует два различных, но одинаково естественных способа взять производную у векторного поля, применяя к нему «наблу». Первый называется дивергенцией поля. Чтобы интуитивно почувствовать, как она измеряется, взгляните на векторное поле, показывающее, как вода потечет из источника слева в раковину справа.