Удовольствие от Х (Строгац) - страница 70
Для этого примера, чтобы отслеживать векторное поле, вместо железных стружек возьмем множество мелких корок или фрагменты плывущих по поверхности воды листьев. Мы собираемся использовать их в качестве зондов. Их движение будет показывать, как вода течет в каждой точке. Представьте, что произойдет, если выложить небольшой кружок из корок вокруг источника. Очевидно, что корки начнут раздвигаться и круг станет расширяться, так как вода вытекает из источника. Источник здесь расходится. И чем сильнее расхождение, тем быстрее увеличивается область нашего коркового круга. Вот почему дивергенция векторного поля определяет, насколько быстро растет площадь небольшого круга из корок.
На рисунке ниже оттенками серого изображены численные значения дивергенции в каждой точке поля. Светлые оттенки показывают точки, где поток имеет положительную дивергенцию, а темные — места отрицательной дивергенция там, где поток сжимает кольцо корок в окружности с центром слива воды.
Другой способ измерения производной — ротор векторного поля. Грубо говоря, ротор показывает, насколько сильно поле крутится вокруг данной точки. (Вспомните карты погоды, демонстрирующие вращающуюся розу ветров вокруг ураганов и тропических штормов, которые вы видели в новостях.) В векторном поле на рисунке области, выглядящие как ураганы, имеют большой ротор.
Украсив векторное поле оттенками серого, можно показать, где ротор имеет наибольшие положительные (светлая область) и наибольшие отрицательные (темная область) значения. Обратите внимание, что положительность или отрицательность ротора говорит также о том, в каком направлении вращается поток (против или по часовой стрелке).
Ротор чрезвычайно информативен для ученых, имеющих дело с механикой жидкостей и аэродинамикой. Несколько лет назад моя коллега Джейн Ван с помощью компьютера смоделировала структуру воздушного потока вокруг стрекозы в момент, когда та зависает на одном месте80. Вычисляя ротор, Джейн обнаружила, что, когда стрекоза машет крыльями, это формирует пару противоположно вращающихся вихрей (роторов), действующих как маленькие торнадо под ее крылышками и создающих достаточную подъемную силу, чтобы удерживать насекомое в воздухе. Таким образом, векторное исчисление помогает объяснить, как летают стрекозы, шмели и колибри, что долгое время было загадкой для традиционной аэродинамики неподвижного крыла самолета.
Теперь, когда вы получили представление о дивергенции и роторе, давайте вернемся к уравнениям Максвелла. Они выражают четыре фундаментальных закона: первый — для дивергенции электрического поля, второй — для его ротора, а третий и четвертый такого же типа — для магнитного поля. Уравнения дивергенции связывают электрические и магнитные поля с источниками их возникновения, заряженными частицами и токами, которые создают их изначально. Уравнения ротора описывают, как электрические и магнитные поля взаимодействуют и изменяются с течением времени. При этом уравнения обладают красивой симметрией: они связывают скорость изменения во