В 1857 году в тридцать один год Риман в конце концов стал ассистентом профессора – с унылым жалованьем, приблизительно эквивалентным тремстам долларов в год. На это ученый жил сам и поддерживал трех своих сестер, однако самая младшая, Мари, вскоре умерла. В 1859 году умер Дирихле, заменивший Гаусса на его посту, и Риман сам занял место Гаусса. Три года спустя, в тридцать шесть, он женился. На следующий год у него родилась дочка. Теперь уже с приличным достатком и молодой семьей жизнь Римана вроде бы начала налаживаться. Но, увы, ненадолго. Он подхватил плеврит, переросший в туберкулез, который и добил его – как и его сестер в юные годы – всего в тридцать девять.
Работа Римана в дифференциальной геометрии стала краеугольным камнем общей теории относительности Эйнштейна. Не прояви Риман неосмотрительность, включив в свой список тем геометрию, и не будь Гаусс таким настырным, выбрав эту тему, математический аппарат Эйнштейна, потребный для его революции в физике, не существовал бы. Но еще до начала переворота труды Римана по эллиптическим пространствам произвели не менее мощное действие на мир математики. Необходимость видоизменять не только постулат параллельности, но и прочие, оказалась равносильна перетиранию прядей в веревке – и веревка вскоре лопнула. И лишь тогда математики осознали, что на этой веревке висела не только геометрия, но и вся математика.
Глава 20. Лицевая подтяжка на 2000-м году
Лекция Римана 1854 года дождалась публикации лишь в 1868-м – через два года после его смерти и через год после книги Бальцера, пролившей свет на работы Бойяи и Лобачевского. Последствия наработок Римана мало-помалу показали, что Евклид совершил ошибки нескольких разновидностей: он сделал множество негласных допущений, другие толком не доформулировал, а кроме того, попытался определить больше, чем было возможно.
Ныне мы видим огрехи евклидовой аргументации. Проще всего критиковать Евклида за искусственное разграничение между постулатами и «общими понятиями». Глубже лежит наша современная попытка аксиоматизировать любые допущения и ничто не принимать за истину всего лишь на основании «очевидности» или «здравого смысла». Это на самом деле вполне новомодный подход – победа Гаусса над Кантом, – и критиковать Евклида за то, что он не произвел этот рывок, затруднительно.
Еще одна структурная проблема евклидовой системы – непризнание необходимости в неопределимых понятиях. Представим словарное определение пространства как «безграничной емкости или места, распространяющегося во всех направлениях». Осмысленно ли это определение, или оно лишь подменяет расплывчатым термином «место» искомый термин «пространство»? Если у нас нет уверенности, что мы отчетливо понимаем значение «места», можем поглядеть в словаре и его определение. Словарь утверждает, что «место» есть «часть пространства, занятая тем или иным объектом». Эти два слова – «место» и «пространство» – частенько определяются друг через друга.