Перед ними открывались три возможности. Либо за иррациональными числами (такими, как корень квадратный из двух) не признается статус «числа»; либо первоначальное понятие «числа» расширяется и оно начинает включать в себя и рациональные и иррациональные числа; либо в науке появляется нечто совершенно новое, и числа перестают коррелироваться исключительно с линиями. Греки после пифагорейцев выбрали третью возможность и на этом пути столкнулись с понятием математической бесконечности.
Чтобы рассуждать о бесконечности, им пришлось усовершенствовать дедуктивный метод. Преодолевая сложности решения отдельных задач с иррациональными числами, они по неосторожности допустили в свою логическую цепочку некоторые допущения. Эти допущения либо не замечались, либо игнорировались как не имеющие прямого отношения и несущественные для математики, пока ближе к концу XIX столетия они резко не заявили о себе в современной математике. Вот тогда-то в самых основах, на которых зиждилась вся математика начиная с XVII века, стали проявляться противоречия и парадоксы. Сначала все обнаружили несовершенное понимание математической бесконечности. Затем более тщательный анализ некоторых парадоксов бесконечности показал, что более серьезные трудности веками были скрыты в логике, которую великие математики от Древней Греции до конца XIX столетия считали отвечавшей требованиям математики и достаточной для ее развития.
На первый взгляд некоторые из этих логических упущений были странно нематематическими. Одни были того же рода, что и высказывание Эпименида Критского «о лживости критян». О других же поговорим, когда представится случай. Пока будет достаточно рассмотреть, как тщательно возделывалась почва для этой сорной травы математиками и логиками в интервале между Пифагором и Платоном.
Из трудов Платона ясно видно, насколько отчетливо он ощущал фундаментальные трудности для эпистемологии, создаваемые иррациональными числами. Борьба по их преодолению, возможно, частично послужила причиной предполагаемого отказа Платона от теории идеальных чисел. Некоторые исследователи считают, что в преклонном возрасте Платон разуверился в своем главном научном достижении – теории идеалов, убедившись если не в полной безнадежности этой теории, то в ее неосуществимости. Правда это или нет, но существенно другое. Один из величайших философов в истории счел необходимым направить основательные усилия на понимание природы чисел, в особенности иррациональных. Проблема иррациональных чисел сильно занимала Платона, и он ругал своих собратьев греков, что они все еще верят (в большинстве своем) вместе с пифагорейцами, что все «измерения» рациональны. «Кто не признает, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, – заявлял Платон, – не человек, а животное».