Или, например, если две стороны треугольника равны, то углы, противоположные равным сторонам, тоже равны. Эти два утверждения подтверждаются при начертании соответствующих фигур, и точно так же очевидна правота другого утверждения: если две прямые линии пересекаются, противоположные углы в точке пересечения попарно равны. Просто внимательно взглянув на чертеж, видим «истину» данного утверждения в геометрии. А если еще немного поразмышляем, то «увидим», что данные выводы не проистекают из каких-либо чисел, которые можно было бы «притянуть» к этому, но, по-видимому, сохраняют справедливость по отношению к любой окружности, любому равнобедренному треугольнику, любой паре пересекающихся прямых линий, которые только в состоянии представить человек. И это означает, что в своей области эти «утверждения» универсальны. Почему? Кто-то скажет, что это вопрос терминологии. Другие найдут утешение в утверждении, что «универсальность» абстрактных линий – это проявление высшего разума.
Четвертое утверждение практически равнозначно: если четырехугольник вписан в окружность, каждая из его диагоналей проходит через центр окружности. Этот вывод, надо признать, не производит сильного впечатления. Но, поданный в иной равнозначной формулировке, он становится, по признанию многих, самой красивой теоремой элементарной геометрии: угол, вписанный в полуокружность, есть прямой угол. Инвариантность, неизменность угла, вне зависимости от места вершины угла на полуокружности, восхищала Данте.
Каждое из приведенных четырех утверждений становится интуитивно очевидным, что явствует в процессе исследования простой фигуры, вроде тех, что ребенок играючи способен нарисовать на поверхности. Все четыре могли быть известны задолго до VI века до н. э., когда впервые в истории их внимательно рассмотрели, но не глазами безучастного ребенка, а пристальным взглядом мудрого человека.
Подобно многим, видевшим справедливость данных утверждений, Фалес также полагал, что очевидность эта интуитивная в смысле видимой «истины». Далее, вполне вероятно, он стал сомневаться в неизбежности столь простых истин в геометрии. Что мы подразумеваем, когда говорим: утверждение о фигуре, составленной из прямых линий, справедливо? Если Фалес и не так формулировал вопрос самому себе или никак его не формулировал, дальнейшее его поведение свидетельствует, что он все-таки сомневался. О действиях Фалеса нам придется судить по записям греческих историков, составивших эти записи много позже того времени, когда Фалеса уже не волновали проблемы прямых линий и окружностей. Историки немногословны, вплоть до неясности, но важно, что именно Фалес ввел абстракцию и доказательства в изучение линий как прямых, так и изогнутых. Доказательство придало значимость справедливости утверждений, как только оно появилось в геометрии. И позволило Платону и его ученикам вообразить, будто они дали смысл доказательству.