Парадоксы роста. Законы глобального развития человечества (Капица) - страница 75

На рис. 20 показаны функции, описывающие рост системы при K = 1, которые появляются при построении решения, начинающегося с сингулярности в эпоху А, переходящего затем в эпоху В гиперболического роста и завершающегося эпохой С. Асимптотический переход решений, описывающий рост в начале развития и на его конечном участке, получим, обратившись к рядам для функции cot–1(t/K) и cot(t/K):

Эти функции пересекаются в точке А, посередине роста при логарифмическом представлении между временем Т0 и Т1, соответствующей наступлению неолита:

под углом 2/(3 K) и практически гладко при K >>1.

Очевидно, что решение можно строить, отсчитывая время от T_>0 – от эпохи антропогенеза A при t_>0 = 0. Тогда, исключив t из (16c), получим одно автономное дифференциальное уравнение, описывающее рост в зависимости oт состояния системы, которое определяется населением Земли:

где последний член добавлен с тем, чтобы рост в эпоху А никогда не был меньше одного гоминида при ∆τ = τ.

Интегрируя (20) и при значениях K > 1 и начальных условиях t_>0 = n_>0 = 0, получим решение:

Это решение показывает симметрию переменных N и T – населения и времени. Для развития в течение эпохи В вдали от особенностей роста это выражено в (16в) и следует из сложности причинных связей в рамках развитых представлений о нелинейной динамике глобальной системы населения нашей планеты.

Для того чтобы выяснить устойчивость развития, следует обратиться к уравнению роста человечества (20). На основании (15) в линейном приближении устойчивость роста к возмущениям определяется показателем Ляпунова λ развития неустойчивости в системе населения (рис. 21):

По этому критерию при λ> 0 движение до перехода неустойчиво и только после перехода развитие системы становится асимптотически устойчивым и впредь таким и остается. Более полное определение устойчивости потребует введения распределений для N и обращения к методам статистической физики при обобщении модели.

При гиперболическом росте мгновенное значение экспоненциального роста равно древности:

что и определяет скорость процессов развития в момент времени T.

В гиперболической хронологии мгновенный экспоненциальный масштаб времени роста и линейной неустойчивости по Ляпунову зависит от древности. До демографического перехода мгновенное значение времени равно удвоенному времени роста неустойчивости:

В глобальной системе населения мира можно предположить, что распределение населения городов и сел описывается степенным законом, имеющим фрактальную природу [52]. В таком случае это распределение хорошо описывается выражением: