Квантовая механика I (Фейнман) - страница 20

точку пространства. Это невозможно — шанс зарегистрировать любое фиксирован­ное направление равен нулю. Если уж нам хочется точности, то нужно так определить наши амплитуды, чтобы они давали ве­роятность попадания на единицу площади счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица я; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть<1|а>=a_>1 определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу площади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словами, мы выбираем масштаб а_>1и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент площади dS_>1равна

Если вся площадь нашего счетчика DS и мы заставим dS_>1странст­вовать по этой площади, то полная вероятность того, что ча­стица а рассеется в счетчик, будет

Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а_>1на его поверхности не очень меняется; зна­чит, а_>1будет постоянным числом, и мы обозначим его через а. Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна

Таким же способом мы придем к выводу, что частица b (когда она одна) рассеивается в элемент площади dS_>2с ве­роятностью

(Мы говорим dS_>2, а не dS_>1в расчете на то, что позже ча­стицам а и b будет разрешено двигаться в разных направле­ниях.) Опять положим b_>2 равным постоянной амплитуде b; тогда вероятность того, что частица b будет зарегистрирована счетчиком, равна

Когда же имеются две частицы, то вероятность рассеяния а в dS_>1и b в dS_>2будет

Если нам нужна вероятность того, что обе частицы (и а, и b) попали в счетчик, мы должны будем проинтегрировать dS_>1 и dS_>2по всей площади DS; получится

Заметим, кстати, что это равно просто р_>а·р_>bвточности так, как если бы мы предположили, что частицы а и b действуют независимо друг от друга.

Однако, когда две частицы тождественны, имеются две не­различимые возможности для каждой пары элементов поверх­ности dS_>1и dS_>2. Частица а, попадающая в dS_>2, и частица b, по­падающая в dS_>1, неотличимы от а в dS_>1и от b в dS_>2, так что амплитуды этих процессов будут интерферировать. (Когда у нас были две различные частицы, то, хотя мы на самом деле не заботились о том, какая из них куда попадает в счетчике, мы все же в принципе могли это узнать; так что интерференции не было. А для тождественных частиц мы и в принципе не можем этого сделать.) Мы должны тогда написать, что вероятность того, что пара частиц очутится в dS_>1и dS_>2, есть

Однако сейчас, интегрируя по поверхности счетчика, нужно быть осторожным. Пустив dS_>1и dS_>2 странствовать по всей пло­щади DS, мы бы сосчитали каждую часть площади