>. А частица
b сама по себе обладала бы амплитудой <2|
b> того, что приземление произойдет в направлении 2. Если частицы не тождественны, то амплитуда того, что в одно и то же время произойдут оба рассеяния, равна попросту произведению
<1|а><2|b>. Вероятность же такого события тогда равна
|a><2|b>|>2 что также равняется
|<1|а>|>2|<2|b>|>2. Чтобы сократить запись, мы иногда будем полагать
<1|а>=а>1, <2|b>=b>2.
Тогда вероятность двойного рассеяния есть
|a>1|>2|b>2|>2.
Могло бы также случиться, что частица b рассеялась в направлении 1, а частица а —в направлении 2. Амплитуда такого процесса была бы равна
<2|а><1|b>, а вероятность такого события равна
|<2|а><1|b>|>2=|a>2|>2|b>1|>2.
Представим себе теперь, что имеется пара крошечных счетчиков, которые ловят рассеянные частицы. Вероятность Р>2 того, что они засекут сразу обе частицы, равна просто
P>2=|a>1|>2|b>2|>2+|a2|>2|b>1|>2. (2.3)
Положим теперь, что направления 1 и 2 очень близки. Будем считать, что а с изменением направления меняется плавно, тогда а>1и а>2 при сближении направлений 1 и 2 должны приближаться друг к другу. При достаточном сближении амплитуды а>1и а>2 сравняются, и можно будет положить а>1=а>2 и обозначить каждую из них просто а; точно так же мы положим и b>1=b>2=b. Тогда получим
Р>2=2|а|>2|b|>2. (2.4)
Теперь, однако, предположим, что а и b — тождественные бозе-частицы. Тогда процесс перехода а в состояние 1, а b в состояние 2 нельзя будет отличить от обменного процесса, в котором b переходит в 2, а а — в 1. В этом случае амплитуды двух различных процессов могут интерферировать. Полная амплитуда того, что в каждом из счетчиков появится по частице, равна
<1| а><2|b>+<2|а><1|b>, (2.5)
и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды:
Р>2= |а>1b>2+a>2b>1|>2=4|a|>2|b|>2(2.6)
Б итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичные бозе-частицы, рассеянные в одно и то же состояние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны.
Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками,— это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот же маленький счетчик, который находится на каком-то расстоянии. Мы определим направление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности dS>1 счетчика. Направление же 2 смотрит в элемент поверхности dS>2счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой поверхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уже нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении или в