Квантовая механика I (Фейнман) - страница 61

А тогда сразу же выходит b=1/2a и с=-1/2а. Те­перь все выражено через а. Подставляя, скажем, во второе

уравнение значения b и с, получаем

а^>2 -1/4a^>2 = 0. или а^>4 =^>1/_>4.

Из четырех решений этого уравнения только два приводят к детерминанту стандартной формы. Мы можем принять а=1/Ц2;

тогда

Иными словами, для двух приборов S и T при условии, что Т повернут относительно S на 90° вокруг оси у, преобра­зование имеет вид

Эти уравнения можно, конечно, разрешить относительно С_>+ и С_>-; это даст нам преобразование при повороте вокруг оси у на -90°. Переставив еще и штрихи, мы напишем

§ 5. Повороты вокруг оси х

Вы, пожалуй, подумаете: «Это становится смешным. Чему же нас теперь будут учить— поворотам на 47° вокруг оси у, потом на 33° вокруг x? Долго ли это будет продолжаться?» Нет, оказы­вается, я почти все рассказал. Зная только два преобразова­ния — на 90° вокруг оси у и на произвольный угол вокруг оси z (как вы помните, именно с этого мы начали),— мы уже способны производить любые повороты.

Для иллюстрации предположим, что нас интересует пово­рот на угол а вокруг оси х. Мы знаем, как быть с поворотом на угол а вокруг оси z, но нам нужен поворот вокруг оси х. Как его определить? Сперва повернем ось z вниз до оси х, а это есть поворот на +90° вокруг оси у (фиг. 4.8).

Фиг. 4.8. Поворот на угол a вокруг оси х равнозначен повороту на +90° вокруг оси у (а), за которым следует поворот ни а вокруг оси z' (б), вслед за которым про­исходит поворот на -90° вокруг оси. у" (в).

Затем во­круг оси z' повернемся на угол a. А потом повернемся на -90° вокpуг оси у".

Итог этих трех поворотов тот же самый, что при повороте вокруг оси х на угол a. Таково свойство пространства. (Все эти сочетания поворотов их результат очень трудно себе представить. Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если а мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи.) Во всяком случае, давайте выведем преобразование для поворота на угол а вокруг оси х, пользуясь тем, что нам уже известно. При первом повороте на +90° вокруг оси у амплитуды следуют закону (4.32). Если повернутые оси обозначить х', y' и z', то последующий поворот на угол а вокруг оси z переводит нас в систему отсчета х". у", z", для которой

Последний поворот на -90° вокруг оси у" переводит нас в систему х'", у'", z'";