Квантовая механика I (Фейнман) - страница 62
из(4.33) следует
Сочетая эти два последних преобразования, получаем
Подставляя сюда вместо С'>+и С'>- (4.32), придем к полному преобразованию
А если вспомнить, что
то эти формулы можно записать проще:
Это и есть наше искомое преобразование для поворота вокруг оси х на любой угол a. Оно лишь чуть посложнее остальных,
§ 6. Произвольные повороты
Теперь уже понятно, как быть с произвольным поворотом. Во-первых, заметьте, что любая относительная ориентация двух систем координат может быть описана тремя углами (фиг. 4.9).
Фиг. 4.9. Ориентацию любой системы координат х', у', г' по отношению к другой системе х, у, z можно определить с помощью углов Эйлера a, b,g.
Если есть система осей х', у', z', ориентированных относительно х, у, z как угодно, то соотношение между ними можно описать тремя углами Эйлера a, b и g, определяющими три последовательных поворота, которые переводят систему х, у, z в систему х', у', z' . Отправляясь от x, у, z, мы поворачиваем нашу систему на угол bets вокруг оси z, перенося ось х на линию х'. Затем мы проводим поворот на угол а вокруг этой временной оси х>1, чтобы довести ось z до z'. Наконец, поворот вокруг новой оси z (т. е. вокруг z') на угол g переведет ось х>1в х', а ось у в у'. Мы знаем преобразования для каждого из трех поворотов — они даются формулами (4.19) и (4.34). Комбинируя их в нужном порядке, получаем
Итак, начав просто с некоторых предположений о свойствах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны амплитуды того, что любое состояние частицы со спином >1/>2 перейдет в один из двух пучков прибора Штерна — Герлаха S с осями х, у, z, то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каждый пучок в приборе Т с осями х', у' и z'. Иначе говоря, если имеется состояние yчастицы со спином >1/>2, у которого амплитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси z системы координат х, у, z равны С>+=<+|y> и С>-=<-|y>, то тем самым мы знаем амплитуды С>+и C>- пребывания вверху и внизу по отношению к оси z' любой другой системы х', у", z' , Четверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со спином >1/>2 в другие системы координат.
Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином >1/>2 через прибор Штерна — Герлаха, пропускающий только состояние (+z). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+x)? Ось +х — это все равно, что ось +z' системы, повернутой на 90° вокруг оси