Квантовая механика I (Фейнман) - страница 63

Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить и полное уравнение (4.35). По­скольку С_>+=1 и С_>-=0, то получится С'_>+=1/Ц2. Вероятности -это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом, 50% шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние (+х). Если бы мы поинтересовались состоянием (-х), то амплитуда оказалась бы -1/Ц2, что опять дало бы вероятность ^>1/_>2, чего и следовало ожидать из симметрии про­странства. Итак, если частица находится в состоянии (+z), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (+x) и (-х). Но фазы противоположны.

Ось у тоже без претензий. Частица в состоянии (+z) имеет равные шансы быть в состоянии (+у) или (-у). Но теперь (согласно формуле для поворота на -90° вокруг оси х) амплитуды суть l/Ц2 и -i/Ц2. В этом случае разница в фа­зах двух амплитуд уже не 180°, как было для (+х)и (-х), а 90°. В этом-то и проявляется различие между х и у.

Вот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином ^>1/_>2 находится в состоянии y, поляризованном вверх относи­тельно оси А, определяемой углами q и j (фиг. 4.10).

Фиг. 4.10. Ось А, определяе­мая полярными углами qи j.

Мы хо­тим знать амплитуду >+|y> того, что частица относительно оси z окажется в состоянии «вверх», и амплитуду >-|y> того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси z. Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что А есть ось z' системы, у которой ось х' направлена произвольно, ска­жем лежит в плоскости, образованной А и z. Тогда можно перевести систему А в систему х, у, z тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на -p/2 вокруг оси A, что пере­ведет ось x в линию В на рисунке. Затем повернуть на — 0 вокруг линии В (вокруг новой оси х системы А), чтобы ось А попала на ось z. И, наконец, повернуть вокруг оси z на угол (p/2-j).

Вспоминая, что вначале было только одно состояние (+) по отношению к А, получаем

Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей даль­нейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной ре­зультат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35)— это то же самое, что и (4.4) Иначе го­воря, в (4.35) коэффициенты при С_>+=<+S|y> и C'_>-= <-S|y> суть как раз амплитуды <jT|iS>в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии i по отношению к S окажется в состоя­нии j по отношению к Т (когда ориентация Т по отношению к S дается углами a, b и g). Мы их также называли R^>TS_>jiв выра­жении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например,