Квантовая механика I (Фейнман) - страница 68
§ 2. Равномерное движение
Если мы предполагаем, что теория относительности верна, то частица, покоящаяся в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе может оказаться в равномерном движении. В системе покоя частицы амплитуда вероятности для всех х, у и z одинакова, но зависит от t. Величина амплитуды для всех t одинакова, а фаза зависит от t. Мы можем получить картину поведения амплитуды, если проведем линии равной фазы (скажем, нулевой) как функций х и t. Для частицы в покое эти линии равной фазы параллельны оси х и расположены по оси t на равных расстояниях (показано пунктирными линиями на фиг. 5.1).
Фиг. 5.1.Релятивистское преобразование амплитуды покоящейся. частицы в систему х—t.
В другой системе, х', у', z' , t', движущейся относительно частицы, скажем, в направлении х, координаты х' и t' некоторой частной точки пространства связаны с х и t преобразованием Лоренца. Это преобразование можно изобразить графически, проведя оси х' и t', как показано на фиг. 5.1 [см. гл. 17 (вып. 2), фиг. 17.2]. Вы видите, что в системе х'-—t' точки равной фазы вдоль оси t' расположены на других расстояниях, так что частота временных изменений уже другая. Кроме того, фаза меняется и по х'. т. е. амплитуда вероятности должна быть функцией х'.
При преобразовании Лоренца для скорости v направленной, скажем, вдоль отрицательного направления х. время t связано со временем t' формулой
и теперь наша амплитуда меняется так:
В штрихованной системе она меняется в пространстве и во времени. Если амплитуду записать в виде
то видно, что Е'>р=Е>0/Ц(1-v>2/с>2). Это энергия, вычисленная по классическим правилам для частицы с энергией покоя Е>0, движущейся со скоростью v; p'=E'>pv/c>2— соответствующий импульс частицы.
Вы знаете, что х>m=(t, х, y, z) и р>m=(Е, р>х, р>y, р>г) — четырехвекторы, a p>mx>m= Et-р·х —скалярный инвариант. В системе покоя частицы p>mx>mпросто равно Et; значит, при преобразовании в другую систему Et следует заменить на
Итак, амплитуда вероятности для частицы, импульс которой есть р, будет пропорциональна
где Е>р — энергия частицы с импульсом р, т. е.
а Е>0, как и прежде, —энергия покоя. В нерелятивистских задачах можно писать
где W>p— избыток (или нехватка) энергии по сравнению с энергией покоя М>sс>2 частей атома. В общем случае в W>pдолжны были бы войти и кинетическая энергия атома, и его энергия связи или возбуждения, которые можно назвать «внутренней» энергией. Тогда мы бы писали
а амплитуды имели бы вид
Мы собираемся все расчеты вести нерелятивистски, так что именно таким видом амплитуд вероятностей мы и будем пользоваться.