Логика (Гусев) - страница 60
Рассмотрим еще один пример. Требуется формализовать следующее рассуждение и установить, к какому виду относится выражающая его формула: Если какое-либо здание является старым, то оно нуждается в капитальном ремонте; Это здание нуждается в капитальном ремонте; Следовательно это здание старое. Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение:
1. Какое-либо здание является старым;
2. Какое-либо здание нуждается в капитальном ремонте.
Первая часть рассуждения представляет собой импликацию (а → в) этих простых высказываний (первое является ее основанием, а второе – следствием). Далее, к этой импликации присоединяется утверждение второго простого высказывания, и получается конъюнкция ((а → в) ∧ в). И наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение первого простого высказывания, и получается новая импликация (((а → в) ∧ в) → а), которая и является результатом формализации рассматриваемого рассуждения. Чтобы определить вид получившейся формулы, составим таблицу ее истинности. В формуле две переменных (а и в), значит в таблице будет четыре строчки (не считая верхней); также в формуле три союза (→, ∧, →), значит в таблице будет пять колонок. Первые две колонки – это истинностные значения переменных. Третья колонка – истинностные значения импликации (а g в). Четвертая колонка – истинностные значения конъюнкции ((а → в) ∧ в). Пятая, последняя колонка – истинностные значения всей формулы – итоговой импликации (((а → в) ∧ в) → а). Таким образом, мы разбили формулу на три составные части, представляющие собой двучленные сложные суждения. Заполним последовательно три последних колонки таблицы по тому же принципу, что и в предыдущем примере, т. е. опираясь на базисную таблицу истинности сложных суждений.
Как видим, рассматриваемая формула принимает как значение «истинно», так и значение «ложно» при различных наборах истинностных значений входящих в нее переменных, следовательно, она является выполнимой или нейтральной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически неверно, или неправильно: при ином содержании рассуждения такая форма его построения могла бы привести к ошибке. (Например: Если слово стоит в начале предложения, то оно пишется с большой буквы; Слово «Москва» всегда пишется с большой буквы; Следовательно, слово «Москва» всегда стоит в начале предложения).
Мы рассмотрели формулы, состоящие из двух переменных, в силу чего в таблицах их истинности было по 2>2 = 4 строчки, обозначающие все возможные наборы (см. первые две колонки вышеприведенных таблиц) истинностных значений переменных: