3 × 2 = 6
3 × −2 = −6
Эти выражения говорят нам о том, что если положительное число умножить на положительное, получится положительный результат, а если положительное число умножить на отрицательное, результат будет отрицательный. Для того чтобы выяснить, что произойдет в случае перемножения двух отрицательных чисел, давайте в последнем выражении подставим вместо числа 3 разность (4 – 1), что даст нам следующее уравнение:
(4 – 1) × −2 = −6
Это уравнение можно записать так:
(4 × −2) + (−1 × −2) = −6
Мы знаем, что согласно правилам выполнения арифметических операций с положительными числами, когда два члена выражения, взятые в скобки, умножаются на одно число, необходимо умножить каждый член выражения в скобках на это число отдельно. (Это правило известно как закон дистрибутивности.) Получается следующее уравнение:
−8 + (−1 × −2) = −6
Следовательно:
(−1 × −2) = 2
Вот мы и пришли к тому, что искали. Минус, умноженный на минус, дает плюс.
Одна из причин того, почему нам так трудно понять принцип умножения отрицательных чисел на концептуальном уровне, состоит в том, что в жизни существует множество ситуаций, в которых арифметика создает неправильную модель. Не успел учитель объяснить нам эту идею, как нам рассказывают, что два заблуждения — еще не правда. В лингвистике двойное отрицание может быть либо отрицанием, либо утверждением, в зависимости от контекста и языка. Когда я изучал португальский, мне пришлось привыкать к тому, что на этом языке фразу I know nothing (одно отрицание) необходимо говорить так: não sei nada, или I don’t know nothing (двойное отрицание»). В данном случае два отрицания усиливают отрицание, а не нейтрализуют друг друга.
Безусловно, в английском языке двойное отрицание равносильно утверждению. Лингвист Джон Лэнгшо Остин однажды на конференции сказал, что ни в одном языке дважды повторенное утверждение не дает отрицания. Говорят, что сидевший в зале философ Сидни Мордженбессер произнес в ответ: «Да-да».
Одним из первых приверженцев индийской системы счисления, включавшей в себя ноль и отрицательные числа, был Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (около 750–850). Впоследствии латинские версии имени аль-Хорезми использовались для описания арифметических методов, которые он популяризировал; именно от его имен происходит и слово «алгоритм». Кроме того, аль-Хорезми разработал новый раздел математики — алгебру, название которой происходит от арабского слова al-jabr, что означает «восстановление». Алгебра — это язык уравнений, в котором для представления чисел используются такие символы, как