Красота в квадрате (Беллос) - страница 120
Если x равно 1, то первый ряд дает нам формулу расчета экспоненциальной константы е, о которой шла речь в предыдущей главе. (Помните, что факториал числа n, записываемый как n!, означает, что это число умножается на все числа от 1 до n.) Следующие два бесконечных ряда — это синус и косинус x, тригонометрические функции, которые тоже должны быть знакомы вам по предыдущим главам. Однако, для того чтобы ряды синуса и косинуса пригодились нам здесь, необходимо использовать специальную единицу измерения — радиан, а не традиционную единицу — градус. Полный круг, или 360 градусов, — это 2π радиан, а половина круга, или 180 градусов, — π радиан. (Радиан называется именно так, поскольку 1 радиан — это угол в центре круга, образующий дугу окружности, длина которой равна ее радиусу, как показано ниже. Радиан — более естественный способ измерения угла, чем градусная система, известная со времен Вавилона. Начиная с XVIII века математики отдают предпочтение измерению углов в радианах [11].)
Радиан
На интуитивном уровне невозможно понять, что означает возвести число (например, число е) в мнимую степень. Однако Эйлер понял, что это можно сделать алгебраическим способом, воспользовавшись представленным выше бесконечным рядом для ex. Например, если мы подставим ix вместо x, получится следующее уравнение:
Убрав скобки, получим такое уравнение:
Мы можем еще больше упростить это уравнение, поскольку по определению i>2 = −1:
i>3 = i × i × i = i>2 × i = –1 × i = –i,
i>4 = i>2 × i>2 = –1 × –1 = 1,
i>5 = i>4 × i = 1 × i = i,
i>6 = –1
И так далее.
Другими словами, вместо членов ряда i>2, i>4, i>6, i>8 … мы можем подставить значения −1, 1, −1, 1 …, а вместо i>3, i>5, i>7, i>9 … — −i, i, −i, i … Следовательно, уравнение можно записать так:
Закономерность легче увидеть, если выделить мнимые члены жирным шрифтом:
Этот ряд можно преобразовать так:
Но ведь это в точности те же члены, что и в представленных выше уравнениях для косинуса и синуса x:
e>ix = cos x + i sin x
Возведение числа е в мнимую степень позволило Эйлеру найти тригонометрические функции. Другими словами, он взял две знакомые, но не связанные друг с другом концепции, перемешал их — и как по мановению волшебной палочки появилось нечто неожиданное: две еще более привычные концепции из области, которая считалась совершенно не имеющей отношения к данной ситуации. Занимаясь математикой, порой испытываешь ощущение, будто это алхимия.
В завершение Эйлер сказал: пусть x = π, что в радианной мере эквивалентно 180 градусам. Поскольку cos π = cos 180° = –1, а sin π = sin 180° = 0, мнимый член ряда исчезает.