Красота в квадрате (Беллос) - страница 121

e^>iπ = cos π + i sin π

Это сокращается до следующей формулы:

e^>iπ = –1

Или:

e^>iπ + 1 = 0

По всей вероятности, именно благодаря революционной работе Эйлера с мнимыми числами они оказались в центре математики, где с тех самых пор и остаются. Но, несмотря на это, для Эйлера и его современников мнимые числа по-прежнему были экзотическими, непостижимыми чудовищами. Само их название, которое подразумевало, что они не существуют, являлось серьезным препятствием, мешавшим их полному принятию. В начале XVIII века Готфрид Лейбниц сказал, что √–1 — это «почти что амфибия между бытием и небытием». Возможно, математика развивалась бы быстрее, если бы вместо термина «мнимые числа» в словарь вошло название «числа-амфибии».

Мы с вами уже знаем, что математики полностью освоились с концепцией отрицательных чисел лишь тогда, когда смогли увидеть их на бумаге в виде точек, отображенных на числовой оси. То же самое произошло и с мнимыми числами. Философские опасения по поводу комплексных чисел исчезли только после изобретения простого способа визуальной интерпретации этой концепции.

Представленная на рисунке ниже комплексная плоскость образована вертикальной числовой осью, на которой откладываются мнимые числа, и горизонтальной числовой осью, на которой откладываются действительные числа (как оси х и у в обычной системе координат). Комплексное число a + bi — это точка на комплексной плоскости с координатами (a, b) — a по горизонтальной оси, b — по вертикальной. На рисунке я отметил число 3 + 2i, другими словами — точку с координатами (3, 2). Комплексная плоскость — достаточно простая идея, но тем не менее все три ее автора независимо друг от друга работали где-то на периферии сообщества самых влиятельных математиков того времени: Каспер Вессель, землемер из Копенгагена; Жан Робер Арган, счетовод из Парижа, и аббат Эдриан-Кантен Буэ, французский священник, который сбежал от революции и поселился в городе Бат. Тот факт, что ни один из великих математиков той эпохи не предложил идею комплексной плоскости, говорит об их зависимости от доктрины о том, что мнимые числа существуют только в воображении.

Комплексная плоскость

Комплексная плоскость стала блестящим открытием. Она не только представляет собой схему, на которой может быть отмечено местоположение комплексных чисел, но и углубляет наше понимание того, как ведут себя эти числа.

Возьмем какую-либо элементарную сумму, скажем 1 плюс 3 + 2i. Ответ: 4 + 2i.

Или прибавим i к числу 3 + 2i. Ответ: 3 + 3i.

А теперь посмотрите на рисунок ниже. Прибавление 1 к точке 3 + 2