Красота в квадрате (Беллос) - страница 122
Чем больше единиц я прибавляю, тем дальше продвигаюсь по горизонтали, а чем больше i — по вертикали. На самом деле сложение комплексного числа a + bi эквивалентно перемещению на a единиц вдоль действительной оси и на b единиц вверх по мнимой оси. Такое геометрическое передвижение обозначается термином «параллельный перенос».
А теперь давайте перейдем к умножению комплексных чисел. Если мы возьмем число 3 + 2i и умножим его на 1, получится то же самое, 3 + 2i. Иначе и быть не может, ведь так всегда происходит с умножением на 1. Но когда мы умножим это число на i, произойдет нечто интересное. Давайте умножим 3 + 2i на i:
(3 + 2i) × i = 3i + 2i>2 = 3i – 2 = –2 + 3i
Посмотрите на представленный ниже рисунок. Точка 3 + 2i сместилась на 90 градусов относительно 0 против часовой стрелки.
Если мы умножим новую точку −2 + 3i на i, точка на комплексной плоскости, которую описывает это число, повернется на четверть оборота вокруг начала координат. Если мы умножим на i>2 = −1, точка повернется на 180 градусов, если на i>3 = −i, точка повернется на 270 градусов, а если на i>4 = 1, точка вернется в исходную позицию.
Теперь давайте возьмем произвольное положительное число a. Оно находится на действительной оси комплексной плоскости. Умножив a на −1, получим ответ: –a. Это число тоже размещено на действительной оси, но с противоположной стороны от 0. Умножим его на −1 еще раз, и оно вернется к значению a. Однако если мы умножим a на i, ответ будет ai. Число повернулось на 90 градусов и теперь расположено на мнимой оси. Если мы снова умножим на i, число переместится в позицию –a, снова вернувшись на действительную ось. Таким образом, комплексная плоскость обеспечивает возможность представить умножение на отрицательные числа, которое сводится к перемещению вперед-назад, в виде умножения мнимых чисел посредством последовательности перемещений по кругу. Этот процесс не только позволяет глубже постичь сущность чисел, но и предоставляет в наше распоряжение мощный язык для описания вращающихся объектов.
Во многих областях науки, в том числе в физике элементарных частиц, электротехнике и радиолокации, комплексная плоскость используется для описания процесса вращения. В действительности волновое уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) содержит мнимое число i [12]. Это уравнение описывает вероятность обнаружения субатомной частицы в определенном месте. Разумеется, вероятность любого события должна находиться в пределах от 0 до 1, или от 0 до 100 процентов. Однако лучший способ понять зависимость между вероятностями частиц сводится к тому, чтобы считать эти вероятности числами на комплексной плоскости. В данном случае вместо сложения вероятностей как действительных чисел эти вероятности усиливают или нейтрализуют друг друга в зависимости от их относительного положения в процессе вращения.