Красота в квадрате (Беллос) - страница 72
Коническое сечение
Гипербола
Парабола
Эллипс
Окружность
Эксцентриситет
A>1/A>2 = k > 1
B>1/B>2 = 1
C>1/C>2 = k < 1
0
Конические сечения: семейство эксцентриков
А теперь представьте, что вы — астроном, а размещенный выше рисунок — модель Солнечной системы. Пусть F — это Солнце. Конические сечения с фокусом в точке F и есть совокупность всех возможных орбит небесных тел.
Планеты вращаются вокруг Солнца по эллипсам: у орбиты Земли эксцентриситет 0,0167, что очень близко к окружности. Чем быстрее объект перемещается по своей орбите, тем больше ее эксцентриситет. Например, орбитальная скорость кометы Галлея в два раза больше орбитальной скорости Земли. Орбита кометы напоминает доску для серфинга, на одном конце которой находится Солнце; именно поэтому на протяжении всех 75 лет, требующихся комете Галлея для прохождения орбиты, она находится слишком далеко, чтобы увидеть ее невооруженным глазом. Эксцентриситет орбиты кометы Галлея — 0,967, что близко к параболе. Когда эксцентриситет орбиты кометы равен 1, она представляет собой параболу, а это значит, что комета пройдет рядом с Солнцем только один раз за время своего существования, после чего покинет Солнечную систему навсегда. Если эксцентриситет орбиты кометы больше 1, эта орбита является гиперболой. Однако такие кометы — крайне редкие явления, а орбитальная скорость тех, которые обнаружены, незначительно превышает скорость, необходимую для того, чтобы отклониться от эллиптической орбиты. Комета C/1980 E1, замеченная в 1980 году, перемещается по орбите с эксцентриситетом 1,057 — это самый большой эксцентриситет из всех когда-либо зарегистрированных.
Представьте, что директриса и фокус F на рисунке зафиксированы. Посмотрим, что произойдет с коническими сечениями в случае изменения эксцентриситета. Когда он равен нулю, кривая представляет собой окружность с центром в фокусе F. Теперь медленно увеличим эксцентриситет от 0 до 1. Появляется эллипс, который становится все больше и больше. Поскольку точка F зафиксирована, другой фокус, обозначенный как f, начнет медленно смещаться вправо по мере увеличения эллипса. Как только эксцентриситет достигнет значения 1, эллипс превратится в параболу, а точка f станет бесконечно удаленной. Если сделать эксцентриситет больше 1, кривая превратится в гиперболу, а в левой части рисунка появится второй фокус f. По мере дальнейшего роста эксцентриситета все полученные кривые будут гиперболами, а фокус f будет смещаться все дальше вправо. В своем труде The Optical Part of Astronomy («Оптика в астрономии») Иоганн Кеплер впервые высказал идею о том, что конические сечения могут превращаться друг в друга так, как это показано выше. Подобно многим другим идеям Кеплера, эта имела переломное значение, поскольку позволила по-новому взглянуть на две концепции, над которыми веками бились философы: непрерывность и бесконечность. Это был важный шаг на пути к новому способу выполнения математических вычислений. Мы вернемся к великому немцу и его пониманию данных концепций чуть позже, при обсуждении исчислений бесконечно малых величин.