«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон».
Таким образом, оказывается, что, по сути, существует несколько утверждений, эквивалентных пятому постулату, о которых сам Евклид, возможно, не догадывался.
Утверждения, эквивалентные пятому постулату
Пятый постулат, по сути, вызвал сумятицу. Понятие параллельных прямых, которые можно неограниченно продолжать, фактически вводило понятие бесконечности.
Кроме того, по формулировке Евклида пятый постулат больше похож на теорему, чем на универсальную истину. Таким образом, на протяжении веков многие математики были убеждены, что это на самом деле свойство прямых, которое может быть доказано, и поэтому пытались найти доказательство. В результате появилось большое количество эквивалентных формулировок пятого постулата. Наиболее важные из них (именно с точки зрения новых геометрий) приведены ниже.
Греческий философ Прокл (410–485) был самым известным представителем афинской школы математики. Его постулат о равноудаленности формулируется следующим образом:
«Прямая, параллельная данной прямой, сохраняет постоянное расстояние от нее».
* * *
ГЕОМЕТРИЯ В ИСКУССТВЕ
Художники в своих работах используют точки, прямые линии и другие геометрические объекты. Их работы очень помогают при ответе на вопросы «что такое точка?», «что такое прямая линия?», «что мы имеем в виду под параллельностью?»Василий Кандинский (1866–1944) был русским художником, поэтом, драматургом и педагогом. Научные исследования в области права и экономики он сочетал с занятиями графикой и живописью. Его преподавательский опыт отражен в трактате «Точка и линия на плоскости» (1925), где Кандинский определил прямую линию как «след перемещающейся точки».
* * *
Великий французский математик Адриен Мари Лежандр (1752–1833) пытался доказать пятый постулат в книге «Начала геометрии», которая многократно переиздавалась и переводилась на многие языки. Более 40 лет он искал доказательство пятого постулата, которое было бы математически строгим, но в то же время понятным читателям и студентам. К сожалению, он умер, так и не увидев развития неевклидовых геометрий. Однако именно он сформулировал постулат для углов треугольника:
«Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым».
Тут мы должны упомянуть Яноша Бойяи, о котором мы позже расскажем более подробно. Отец Бойяи, который также был математиком, безуспешно пытался доказать пятый постулат и поэтому не хотел, чтобы его сын зря тратил время на решение этой задачи. Однако Яношу было суждено сделать гораздо большее. Все началось с постулата о трех точках: