Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 17
Глава 3
Конкуренты Евклида
На протяжении веков пятый постулат вызывал обильные комментарии и критику в трудах самых известных геометров. Многие из них были убеждены, что этот постулат можно доказать с помощью других постулатов, и сосредоточили свои усилия на поиске доказательства, чтобы, наконец, объявить его теоремой.
После многих столетий развития математических теорий никто так и не смог доказать ни сам постулат, ни ложность тех геометрий, которые этот постулат отвергают.
Список математиков, которые пытались доказать пятый постулат Евклида, содержит много самых знаменитых имен в истории науки. Результаты этих ученых открыли дорогу новым геометриям, и мы не должны забывать их новаторских работ в этой области.
Тем не менее, несмотря на усилия лучших математиков, все попытки были тщетны. Каждый, кто брался за решение этой задачи, получал результаты, эквивалентные пятому постулату, но строгое доказательство так и не было найдено. Одна из первых попыток была сделана Проклом в V в.
Прокл оставил ряд своих комментариев, например:
«Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это — теорема, вызывающая много сомнений, которые Птолемей пытался разрешить в одной из своих книг, и его доказательство потребовало сложных определений и теорем. Кроме того, обратное утверждение было доказано самим Евклидом в качестве теоремы. Утверждение, что «две прямые неизбежно пересекаются, будучи продленными достаточно далеко», представляется правдоподобным, но не необходимым. Таким образом, совершенно ясно, что должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо».
* * *
ПРОКЛ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (410–485)
Греческий математик Прокл родился в Константинополе и умер в Афинах. Он был последним крупным языческим ученым. Из-за своего язычества он был изгнан из Афин на целый год. Он был выдающимся комментатором Евклида и Птолемея, а потому является важной фигурой древнегреческой геометрии.
* * *
Фактически греческий математик хотел показать, что только одна параллельная прямая m проходит через точку Р вне прямой l.
Прокл предположил, что, по крайней мере одна прямая, параллельная l, проходит через точку Р, и он обозначил ее буквой m. Затем он хотел доказать, что любая другая прямая, проходящая через Р и отличная от m, пересекает прямую l.
Таким образом было бы показано, что если существует параллельная прямая, проходящая через Р, то она должна быть единственной. Итак, Прокл провел через точку Р