Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 18

прямую n, отличную от m, и опустил из точки Р перпендикуляр на прямую l, обозначив его основание буквой Q.

Далее, если прямая n проходит через точки Р и Q, то n пересекает прямую l в точке Q. Но что если n не проходит через точки Р и Q? В этом случае на прямой n можно отметить точку Y и опустить из нее перпендикуляр на прямую m, обозначив его основание точкой Z.

На рисунке выше мы видим, что отрезок РY ограничен прямой m и отрезком YZ, а точка Y может двигаться вправо по прямой n.

Далее Прокл отмечает, что длина отрезка YZ увеличивается по мере продвижения вправо (и может стать бесконечно большой). Поскольку расстояние между прямыми m и l постоянно, то n обязательно пересечет l в некоторой точке. Таким образом, как думал Прокл, пятый постулат был доказан.

Обратите внимание: рассуждения греческого ученого опираются на то, что расстояние между прямыми m и l постоянно. Таким образом, единственным аргументом является то, что прямые m и l не пересекаются.

Кроме того, длина отрезка может увеличиваться бесконечно, но не превышать некоторой фиксированной величины. Фактически Прокл свел доказательство пятого постулата к доказательству того, что параллельные прямые находятся на постоянном расстоянии друг от друга, что эквивалентно аксиоме параллельности Плейфера.

Арабские математики также пытались доказать пятый постулат. Первым из них былИбн ал-Хайсам (965—1039), известный на Западе как Альхазен. Он исходил из предположения, что если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже должен быть прямым, откуда Альхазен заключил, что через точку вне прямой проходит только одна параллельная линия. Его заключение основывается на том, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, является прямой линией. Обратите внимание, что его аргументы тоже основаны на понятии равноудаленности, хотя и не так явно. Таким образом, его предположение (если четырехугольник имеет три прямых угла, то четвертый угол тоже прямой) эквивалентно пятому постулату Евклида: Альхазен использует пятый постулат, чтобы доказать пятый постулат!

Персидский математик Омар Хайям (1050–1123) был известен как в арабском мире, так и на Западе благодаря своим работам по астрономии, алгебре и, в частности, благодаря вкладу в геометрию. Его знаменитая работа «Об истинном смысле параллельных и об известных сомнениях» содержит аргументированные рассуждения с использованием четырехугольников. Эта теория лишь через 600 лет была развита итальянским философом и математиком Джироламо Саккери.