Интегральная геометрия
В конце XX века появился раздел геометрии, который включил в себя статистику и теорию вероятностей. Эта современная геометрия, совершенно не похожая на евклидову, называется интегральной геометрией. Одним из ее основоположников был Луи Сантало (1911–2001), выдающийся испанский математик и педагог. Как это часто бывает, новая дисциплина возникла при попытке решить классическую задачу. Результаты многолетних исследований Сантало опубликовал в своей книге «Интегральная геометрия и геометрические вероятности».
Задача, известная как «игла Бюффона», с которой началась интегральная геометрия, была сформулирована Жоржем Луи Леклерком, графом де Бюффоном (1707–1788). В 1777 г. граф опубликовал четвертый том своей важнейшей работы «Дополнение к естественной истории». Он включил в него статью со странным названием Essai dArithmetique Moral («Опыт моральной арифметики»). В этой статье граф попытался применить математику к изучению условий жизни человека. Именно там приведена задача об игле Бюффона:
«На листе бумаги имеются горизонтальные прямые линии, расположенные на расстоянии d друг от друга. Мы бросаем иглу длиной l, где l < d. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из линий?»
Эксперимент состоит в том, что на лист бумаги, расчерченный параллельными линиями на расстоянии d друг от друга, бросается игла длиной l. Игла может пересечь одну из параллельных линий, а может и не пересечь. Самым удивительным является то, что этот эксперимент позволяет получить число π с хорошим приближением. Эксперимент связывает элементы классической геометрии, такие как области и расстояния, с теорией вероятностей.
* * *
БЮФФОН И МОРАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
Граф де Бюффон был французским интеллектуалом в эпоху Просвещения. Его настоящее имя Жорж-Луи Лекперк, титул графа был пожалован ему Людовиком XV. Граф де Бюффон был выдающимся естествоиспытателем, его главная работа, «Естественная история», содержит 36 томов. Его геологические исследования и попытка определить возраст Земли привели к серьезным проблемам с католической церковью.
Несмотря на то, что он сильно ошибся, его цифра значительно превышала библейские 6000 лет. Его судили, и ему пришлось отречься от своей теории, но втайне он продолжал уточнять свои расчеты. Бюффон был избран членом Парижской Академии наук в 1734 г.
В своей работе «Опыт моральной арифметики» граф попытался измерить эмоции, надежды и страхи человечества. Для этого ему нужно было найти количественные единицы для своих измерений. За основу он выбрал страх смерти, который мог иметь положительное или отрицательное значение (надежда или страх) при перемене знака.