Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 53
Граф де Бюффон считал азартные игры самой вредной человеческой страстью, и это привело его к изучению сущности вероятности. Будучи знакомым с теорией вероятностей, основы которой заложил Якоб Бернулли в 1713 г., Бюффон связал вероятность с числами, а затем попытался количественно описать влияние вероятности на поведение людей. Эти результаты легли в основу «моральной арифметики».
Граф де Бюффон предположил, что геометрия может быть эффективным инструментом для вычисления вероятностей. Он писал: «Анализ — единственное средство, которым до сего дня пользовались в науке о вероятностях, а геометрия представлялась малопригодной в столь тонком деле. Тем не менее, если обдумать это как следует, нетрудно распознать, что это преимущество анализа перед геометрией чисто случайно и что шанс находится равным образом в ведении и геометрии, и анализа».
Портрет графа де Бюффона, интеллектуала эпохи Просвещения, написанный Друз в 1753 г.
* * *
Пусть Р — вероятность того, что прямая линия будет пересекаться с иглой, тогда мы имеем:
Если l <= d, то мы имеем (v/n) = (2·l/π·d), откуда π = (2·l·n)/v·d
Бюффон доказал формулу π = (2·l·n)/v·d прямыми, но очень сложными вычислениями.
Частота, с которой событие происходит, приближается к значению вероятности, то есть значение частоты становится все более и более точным при увеличении количества бросков. Результат Бюффона подвергся серьезной проверке в 1901 г., когда доктор Лазарони бросал иглу 34080 раз и получил значение π = 3,1415929. В настоящее время этот эксперимент можно быстро выполнить с помощью компьютера.
Кроме того, задача Бюффона дает возможность измерять геометрические объекты (длины, площади и т. д.), то есть позволяет формализировать понятие измерения множества линий, плоскостей и т. д. Интегральная геометрия оперирует этими понятиями с большой точностью. Интегральная геометрия широко применяется в биологии и медицине. Например, она лежит в основе компьютерной томографии. В 1979 г. британец Годфри Хаунсфилд получил Нобелевскую премию по медицине за работы по созданию компьютерной томографии на основе интегральной геометрии. Недавняя научная дисциплина, стереология, тоже возникла из интегральной геометрии.
Стереология представляет собой набор научных методов для изучения трехмерного пространства по двумерным сечениям или проекциям на плоскость. Например, она позволяет определить точную форму маски или точную кривизну поверхности. Она используется во всех областях: от статистики и геометрии до медицины и геологии.