Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел (Лизана) - страница 8
В сотрудничестве со своим учителем Мартином Бартельсом молодой Гаусс получил новое доказательство бинома Ньютона с натуральными коэффициентами, то есть формулу, которая позволяет вычислить степень двучлена:
Это число сочетаний n по k, а n! = Π>n>i-1i называется факториалом числа, и он равен произведению этого числа на все натуральные числа меньше него.
Известна история, из которой видно, насколько легко давались Гауссу арифметические вычисления. Когда мальчику было девять лет, учитель Бюттнер предложил своим ученикам сложить сто первых натуральных чисел, будучи уверенным в том, что это займет класс достаточно долго, а он в это время сможет отдохнуть. Обычно ученики, решив задачу, вставали и клали доску с решением перед учителем. И вот в то время как остальные ученики едва приступили к заданию, Гаусс уже положил свою доску на стол учителя, воскликнув: Ligget se! («Вот оно!»). Бюттнер подумал, что Гаусс просто дерзит ему, но когда он посмотрел на доску, то обнаружил, что на ней записан правильный ответ — 5050, причем не было приведено ни одного этапа вычислений. Учитель подумал, что каким-то образом проговорился об ответе, но тут юный Карл объяснил ход своих рассуждений. Гаусс не стал решать проблему в лоб, просто складывая слагаемые (к тому же при этом легко было допустить ошибку), а предпочел нестандартный подход. Он быстро понял, что первое число (1) и последнее (100) в сумме дают то же самое значение (101), что второе число и предпоследнее, и это рассуждение можно продолжить, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 + 51 = 101. Образовались 50 пар чисел, которые в сумме давали 101 и произведение которых было равно 5050.
Гаусс, сам того не понимая, применил формулу суммы членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это ряд таких чисел, в котором разность между двумя любыми последовательными членами является постоянной, и эта величина называется разностью прогрессии, просто разностью или шагом. В проблеме, предложенной Гауссу, разность была равна 1. Выражение суммы арифметической прогрессии довольное простое: если члены нашей последовательности — это a>1 а>2,..., а>n, то сумма S>n равна:
Если мы подставим в предыдущую формулу n= 100, то получим 5050, чего и следовало ожидать.
Доказательство формулы можно получить разными методами, одни из них интуитивны, например использование пар чисел с одинаковой суммой, как это сделал Гаусс, но в более формальном доказательстве обычно используется принцип индукции. Этот метод заключается в том, чтобы доказать, что натуральное число п обладает определенными свойствами, а затем обосновать, что если ими обладает любое натуральное число, то же происходит и со следующим.