Сила математического доказательства в том, что мы можем утверждать: эта формула верна для суммы любого ряда натуральных чисел. Если бы мы использовали для вычислений самые быстрые современные компьютеры и увидели бы, что формула выполняется, это не дало бы нам абсолютной уверенности: всегда можно было бы подумать, что остались числа, для которых наше утверждение не проверено, и с ними оно может не выполняться. В этом и заключается один из главных вкладов Гаусса в науку: утверждения должны иметь строгое доказательство. До его работ в математике было много созерцательного, утверждения основывались на конкретных примерах, существовали понятийные белые пятна и неполные доказательства. Однако Гаусс не публиковал свои работы, пока не получал как можно более строгого доказательства, при этом в своих записях он обычно не приводил полный ход рассуждений и этим затруднял их понимание для современников. Представление ученого о математических трудах требовало доведения их до совершенства, при этом он считал, что приведение подробных доказательств делает его работу не такой безупречной, ведь ее можно сравнить с демонстрацией готового здания, рядом с которым все еще стоят строительные леса, необходимые только на этапе строительства.
ПРИНЦИП ИНДУКЦИИ
Принцип индукции, примененный к доказательству формулы суммы л натуральных чисел, имеет три следующие базовые предпосылки:
a) проверяем справедливость нашей гипотезы для n = 1;
b) предполагаем, что она верна для n - 1;
c) основываясь на «а» и «b», доказываем это для n.
Если нам удастся доказать «с», пользуясь «а» и «b», то утверждение верно для всех натуральных чисел. Идея состоит в том, что если утверждение справедливо для любого выбранного числа, то оно справедливо и для следующего, большего на единицу. Применим принцип индукции к формуле суммы первых n натуральных чисел:
Tn = n(n=1)/2.
a) Для n = 1 получается:
T1 = 1(1=1)/2 = 1
Утверждение верно.
b) Предположим, что для n - 1 сумма равна:
Tn-1 = (n-1)/2.
c) Сумма Тn = Т>n-1 + n, так что, применяя «b», получаем:
T>n = (n-1)n/2 + n = (n-1)n/2 + 2n/2 = ((n-1)n + 2n)/2 = (n²-n+2n)/2 = (n²+n)/2 = n(n+1)/2.
что завершает доказательство.
ТРЕУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА
История о сумме 100 первых натуральных чисел и общая формула, которую мы доказали, необходимы для введения в тему, которой Гаусс посвятил много времени в молодости. Итак, поговорим о треугольных числах. Британский математик Маркус дю Сотой включил в свою книгу «Музыка простых чисел» (2003) новое доказательство способа, которым Гаусс получил результат 5050, используя треугольные числа.