Можно, конечно, трактовать геометрию алгебраически или алгебру геометрически; это значит или устранить то, что дается глазу, или дать ему господствовать. Первое делаем мы, второе – греки. Архимед, который в своем прекрасном исследовании спирали затрагивает известные общие факты, лежащие в основе также и метода определенного интеграла у Лейбница, сейчас же подчиняет стереометрическому принципу свой на первый взгляд вполне модернистический метод. Индиец, само собою разумеется, дал бы в этом случае тригонометрическую формулировку. (Теперь нельзя уже установить, что именно в известной нам индийской математике возникло в древнеиндийский период, то есть до Будды.)
13.
Из основного противоположения античного и западноевропейского числа вытекает столь же глубоко идущее противоположение того отношения, в котором стоят друг к другу элементы каждого из этих комплексов. Соотношение величин называется пропорцией, соотношение же отношений определяет сущность функции. Оба слова, выходя за пределы математики, имеют очень большое значение для техники соответствующих искусств – пластики и музыки. Если совершенно отвлечься от того смысла, который имеет слово «пропорция» для соразмерности частей отдельной статуи, то только типичные античные произведения искусства – статуи, рельефы, фрески – допускают увеличение и уменьшение масштаба – слова, которые для музыки, искусства безграничного, не имеют никакого смысла. Вспомните об искусстве гемм, задача которого сводилась к простому уменьшению статуй натуральной величины. В пределах же теории функций понятие трансформации групп, напротив того, имеет решающее значение, и музыкант подтвердит, что аналогичные образования составляют существенную часть нового учения о композиции. Я напомню только об одной тончайшей инструментальной форме XVIII столетия – «теме с вариациями».
Всякая пропорция предполагает постоянство, всякая трансформация – изменчивость элементов: здесь следует сравнить положения конгруэнтности у Эвклида, доказательства которых фактически покоятся на наличном отношении 1:1, с современным выведением при помощи угловых (тригонометрических) функций.
14.
Конструкция – которая в широком смысле включает все методы элементарной арифметики – есть альфа и омега античной математики: она состоит в создании единичного, стоящего перед нашими глазами объекта. Циркуль – вот резец этого второго изобразительного искусства. Способ работы при исследованиях в области теории функций, цель которого не результат в виде определенной величины, а рассмотрение всех формальных возможностей, может быть характеризован как род теории композиции, близко напоминающий музыкальную. Целый ряд понятий теории музыки мог бы быть непосредственно применен к аналитическим операциям физики – «тональность», «фразировка», «хроматика» и пр., – и очень возможно, что некоторые зависимости выиграли бы при этом в ясности.