Трехмерный мир. Евклид. Геометрия (Каррера) - страница 23
| Sumperasma (заключение) | Треугольник АВС равносторонний, и мы построили то, что требовалось. Ч. Т. Д. (что и требовалось доказать). |
В этом предложении есть все необходимое (см. таблицу на следующей странице). Для построения используются постулаты 3 и 1. В доказательстве используется определение 15, общее понятие 1 и элементарная логика. Представив изначально равносторонний треугольник ЛВС, мы получаем множество отправных точек для построения и доказательства. Исходя из этого «идеального» образа можно провести синтетическое доказательство, поскольку в нем стороны равны и образуют треугольник. В другом случае, например с правильным пятиугольником, это будет гораздо сложнее.
Хотя у циркуля нет памяти, по первому постулату возможно «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой» и таким образом добавлять равные отрезки, необходимые для построения правильных фигур. Также возможно разделить отрезок на меньшие части.
Проанализируем еще два доказательства, чтобы рассмотреть логико-дедуктивный метод «Начал».
Книга I, предложение 5.
В равнобедренных треугольниках углы у основания равны между собой (см. рисунок).
1. Дан равнобедренный треугольник ΔABG с равными сторонами АВ и AG (определение 20).
2. Продлим их на равные отрезки BZ и GH соответственно (общее понятие 2, предложение 2).
3. Соединим Z c G, а Н с В (постулат 1).
4. Треугольники ΔAGZ и ΔAВН равны (предложение 4, по критерию равенства треугольников сторона — угол — сторона), поскольку у них равны стороны ^4Z и АН (общее понятие 2) и AG и АВ соответственно, и общий угол между ними. Следовательно, углы 5. Треугольники ΔGBZ и ΔBGH равны (предложение 4), следовательно, углы Книга I, предложение 15. Если две прямые пересекаются, то образуют в вершине углы, равные между собой (см. рисунок). 1. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (утверждение). 2. Необходимо доказать, что углы 3. Суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА 4. Следовательно, суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА 5. Если мы вычтем из обеих пар угол <СЕА, оставшиеся углы <СЕВ и Обратим внимание на то, что Евклид прибегает к определениям, уже доказанным предложениям, общим понятиям и постулатам. С их помощью, последовательно связывая рассуждения и построения, мы достигаем искомого результата исходя из заданных условий. Простота этих доказательств придает им большое изящество.
