Книга I, предложение 22. Из трех прямых, которые равны трем данным, можно составить треугольник (см. рисунок 7).
Что заставляет Евклида бросать вызов аристотелевскому ограничению на использование бесконечности в действительности? Ответ прост. Он хочет, чтобы его утверждения были действительны в общем смысле, то есть не зависели от конкретного рисунка. В первом случае прямая, к которой мы хотим провести перпендикуляр, должна быть достаточно длинной, чтобы гарантировать, что исходная точка этого перпендикуляра будет над ней независимо от конкретной точки на рисунке. Во втором случае три стороны треугольника должны находиться на и над прямой, которая, соответственно, должна быть настолько длинной, чтобы вмещать их независимо от длин сторон, а для этого она должна быть бесконечной. Значит, в некотором смысле ограничение, установленное Аристотелем, отнимает что-то у математиков. Девять веков спустя Прокл в комментарии к первой книге «Начал» выразил свое мнение по этому поводу, анализируя предложение 12:
«Но надо исследовать теоретически, как полагается беспредельное в цельном. Ясно, что если имеется неограниченная прямая, то неограниченна и плоскость, содержащая ее, причем на деле, поскольку задача предложена. [...] Остается считать, что беспредельное существует лишь в воображении, но беспредельное не мыслится воображением. Ведь мыслить — значит придавать мыслимому форму и предел [...] Так что беспредельное относится не к мышлению, но к неопределенному для мысли; и, будучи немыслимым, несоразмерным природе и непостижимым для мысли, оно и называется беспредельным. [...] Воображение порождает его в силу своей нераздельной способности непостижимого порождения и представляет беспредельное по его немыслимости. [...] Так что когда мы полагаем в воображении данную неограниченную прямую, подобно всем прочим геометрическим фигурам, [...] не удивительно ли, как эта линия может быть беспредельной на деле и как она, будучи неопределенной, связана с определенными понятиями? С другой стороны, разум, из которого исходят рассуждения и доказательства, не пользуется беспредельным в науках, [...] беспредельное берется не ради беспредельного, но ради определенного. Ведь если данная точка не лежит на продолжении ограниченной прямой и не отстоит от этой прямой так, что никакая часть прямой не лежит под точкой, у нас не будет никакой потребности в беспредельном. В этом случае пользуются ограниченным, как не подлежащим проверке и бесспорным».
В этом тексте сделан большой шаг вперед по сравнению с предыдущими рассуждениями о бесконечном. Однако лишь благодаря исследованиям немецких ученых Рихарда Дедекинда (1831-1916) и особенно Георга Кантора (1845-1918) — всего через 50 лет после того, как Лобачевский и Бойяи расправились с пятым постулатом, — актуальная бесконечность стала частью математики. Так был положен конец философско-научной традиции, длившейся более 2000 лет.