Трехмерный мир. Евклид. Геометрия (Каррера) - страница 36

Для понимания методологии Евклида очень важно ответить на вопрос: прав ли Аристотель, когда утверждает, что его философия бесконечности не относится к математике? Насколько строго Евклид придерживается ограничений, установленных Аристотелем, и в каких случаях он их нарушает? Евклид считает, что прямые — это прямые отрезки, а их концы — точки, то есть прямые конечны. Он дает определение именно отрезкам и рассматривает только их. В пятом постулате он избегает говорить о параллелизме, который, как мы увидим дальше, подразумевает существование бесконечности. В разделе по арифметике, в частности в предложении 20 книги IX, он говорит:

Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел.

Такая формулировка позволяет Евклиду применить прямое доказательство, а если бы он воспользовался понятием актуальной бесконечности, то вынужден был бы прибегнуть к непрямому доказательству. В этом заключается одна из трудностей, перед которой нас часто ставит использование понятия бесконечности: приходится прибегать к косвенным доказательствам с помощью метода доведения до абсурда. Рассмотрим разницу между двумя типами доказательств на примере утверждения Евклида, процитированного выше. Начнем с прямого. Представим, что у нас есть бесконечное количество простых чисел: а, b,..., т. Возьмем число N = (а х b х ... x m) + 1. Если N— простое число, значит есть простое число, отличное от а, b, ..., m. Напротив, если N — составное число, то его делителем будет простое число (книга VII, предложение 32), которое должно быть отличным от каждого из ряда простых чисел а, b, ..., m.

Теперь обратимся к непрямому доказательству. Переформулируем предложение 20 следующим образом:

Ряд простых чисел бесконечен.

Если принять за истину обратное, то ряд простых чисел а, b, ..., m ограничен и содержит в себе их все. Но если мы повторим предыдущее доказательство, то получим число, отличное от а, b, ..., m, значит, последовательность не включает в себя все числа.

Однако Евклид не мог совершенно избежать использования актуальной бесконечности. Например, он пишет:

Книга I, определение 23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны не встречаются.

РИС. 6

РИС. 7

В этом утверждении прямо говорится о неограниченности, то есть подразумевается актуальная бесконечность. В той же первой книге это слово встречается еще в двух предложениях: в формулировке и в доказательстве.

Книга I, предложение 12. К данной неограниченной прямой из заданной точки, на ней не находящейся, можно провести перпендикулярную прямую (см. рисунок 6).