Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса (Ливио) - страница 104

. Эквивалентный вариант «пятого постулата», который чаще всего цитируется в наши дни, впервые появился в комментариях греческого математика Прокла в V веке, однако широко известен как «аксиома Плейфэра» в честь шотландского математика Джона Плейфэра (1748–1819). Он гласит: «если дана линия и точка, лежащая вне ее, через эту точку возможно провести одну и только одну линию, параллельную данной» (см. рис. 40). Два варианта постулата эквивалентны в том смысле, что аксиома Плейфэра (вместе с другими аксиомами) требует первоначального пятого постулата Евклида или наоборот.

С течением веков недовольство пятым постулатом росло, и это привело к целому ряду неудачных попыток все-таки доказать его на основании остальных постулатов и аксиом или заменить его каким-то более очевидным постулатом. Когда эти попытки провалились, другие геометры попытались ответить на интересный вопрос из серии «А что, если»: а что, если пятый постулат на самом деле неверен? Размышления в этом направлении порождали неприятные сомнения в том, так ли уж самоочевидны евклидовы аксиомы – может быть, они просто основаны на повседневном опыте?[102] А окончательный – и крайне неожиданный – вердикт был вынесен в XIX веке: можно создать новые виды геометрий, если произвольно выбрать постулат, отличающийся от пятого постулата Евклида. Более того, эти «неевклидовы» геометрии в принципе способны описывать физическое пространство с той же точностью, что и евклидова!

Рис. 39

Рис. 40

Позвольте мне сделать здесь небольшую паузу, чтобы уяснить значение выражения «произвольно выбрать». В течение тысячелетий евклидова геометрия считалась уникальной и неизбежной – единственно верным описанием пространства. А когда стало ясно, что можно выбирать постулаты произвольно и получать при этом не менее логичное описание пространства, вся концепция перевернулась с ног на голову. Надежная, тщательно выстроенная дедуктивная схема вдруг стала больше похожа на игру, в которой постулаты играли роль правил и не более того. Возьмешь другие постулаты – сыграешь в другую игру. Это открытие имело поистине сокрушительные последствия для понимания природы математики.

Почву для решительной атаки на евклидову геометрию подготовили сразу несколько математиков, обладавших широким мировоззрением. Особенно выделялись среди них иезуит Джироламо Саккери (1667–1733), исследовавший то, к каким последствиям может привести замена пятого постулата каким-то другим утверждением, и немецкие математики Георг Клюгель (1739–1812) и Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777), которые первыми поняли, что могут существовать и другие геометрии, альтернативные евклидовой. И все же нужен был кто-то, кто забил бы последний гвоздь в крышку гроба представлений о том, что единственное возможное описание пространства – это евклидова геометрия. Заслуга принадлежит троим математикам – из России, Венгрии и Германии.