3.2. Философские проблемы математических наук
3.2.1. История формирования философских представлений об объекте и предмете математики. Объект познания – это то, на что направлено внимание исследователя. А направлено оно на сущность вещи. Отсюда возникает понятие «объективное знание» – знание природы объекта.
Не будет преувеличением сказать, что объектом математического знания начиная с Античности становится мир в целом. Все остальные науки изучали отдельные роды сущего (существующего), математика же была знанием в чистом виде, знанием истины как таковой. Этот объект математика сохраняет за собой по сей день, что роднит ее с философией и теологией. Мир как целое представлен в виде системы. Античность выражает системность мира через такие категории как порядок, симметрия, гармония, определенность, мера. Представленная таким образом системность мира и становится объектом математики в строгом смысле слова.
Предмет науки – это та часть объекта, изучая которую, мы сможем раскрыть его природу, решить задачу, поставленную исследованием. В Античности предметом математики становятся числа и геометрические фигуры, которые позволяют выразить и объяснить размерность, определенность, порядок, симметрию, гармонию мира, одним словом, его красоту.
Изменение предмета математики происходит в эпоху Нового времени. Это было связано с возникновением алгебры.
Идеологом алгебры в европейской математике стал Р. Декарт. Не он ее изобрел, но именно он стал систематически применять алгебраические методы решения геометрических задач. Для Античности существовала принципиальная разница между арифметикой, предметом которой было число, и геометрией, предметом которой были геометрические фигуры. Число рассматривалось как чисто идеальный объект, который может быть дан только в мышлении, а геометрические объекты даны не только в мышлении, но и в воображении. В результате Античность приписывала числу более высокий онтологический статус (чистого идеального бытия) и не допускала возможности сведения геометрии к арифметике.
Декарт деонтологизирует математику: неважно, какова природа числа или отрезка, важно, что по отношению к ним можно выполнять одни и те же операции.
Алгебру можно определить как совокупность n-арных операций, определенных на некотором множестве объектов. Математика становится наукой не о числах или геометрических фигурах, предметом математики становятся универсальные операции, применимые к объектам. Математическое мышление приобретает операциональный и инструментальный характер.
В современной математике нет единства в понимании ее предмета. Общей для представителей различных подходов является вера в то, что данная область знания описывает структуру мира. В этом смысле математику можно определить как науку о собрании абстрактных форм – структур. Данные структуры задаются системой аксиом, которые определяют математическое многообразие возможностей опыта. Важно, что одна и та же математическая структура может быть интерпретирована на различных чувственно воспринимаемых моделях. В результате уровень данных структур рассматривается в науке как самый глубокий уровень реальности. При этом все формы движения материи – физическая, химическая, биологическая, социальная, психическая и др. – становятся лишь внешними формами проявления этого глубинного уровня реальности.