Наверное, Эйлер жил в наиболее подходящее ему время. XVIII век был назван эпохой Просвещения, поскольку в этот период западный мир по большей части перешел к Новому времени, освободившись от тьмы прошлого. Этот процесс начался благодаря неудержимому и неизбежному распространению знаний. В науке прогресс привел к двум важным нововведениям: открытию национальных академий и появлению научных журналов. Деятельность Эйлера разворачивалась в академической среде. Академии появились еще в XVII столетии, но их расцвет пришелся на следующий век, когда они получили поддержку от просвещенных монархов, желавших приумножить славу своих стран, оказывая покровительство ученым и развивая науку.
Еще одним обстоятельством, навсегда изменившим интеллектуальную жизнь, стало появление периодических научных журналов. До этого, за исключением книг, которые авторы часто печатали на свои собственные средства, об открытиях узнавали из писем или путешествий. Появление таких изданий, как Philosophical Transactions, Comptes rendus, Memoires de VAcademie и Journal de Crelle, сделало доступным самому широкому кругу то, что раньше было привилегией немногих избранных. Эйлер, в частности, активно пользовался этими средствами коммуникации.
Жизнь Эйлера можно разделить на четыре основных периода: первый, до 1727 года — обучение; затем 14 лет в Академии наук, основанной Петром I в Санкт-Петербурге; до 1766 года — работа в Берлинской академии наук; наконец, возвращение в Россию, где он и умер. В конце первого периода, ознаменовавшегося знакомством с братьями Бернулли, которые разглядели в ученом интерес к анализу, Эйлер сделал одно из самых важных своих открытий — формулу, позже названную его именем. При помощи математической константы е она связывает комплексное число i и тригонометрические функции синус и косинус:
e>xi = cosx + isinx.
Число е, лежащее в основании натуральных логарифмов, часто встречается в работах Эйлера и иногда называется числом Эйлера. Несколько десятилетий спустя на основе этой формулы ученый развил большую часть своих работ по анализу.
Первый русский период Эйлера можно считать самым плодотворным в его научном творчестве. Как можно предположить, зная о продуктивности Эйлера, открытия, совершенные в это время, настолько многочисленны, насколько и удивительны.
Только в области анализа ученый нашел способ точного вычисления числа е и определил многие его свойства; открыл гамма-функцию (Г), которая позволяет интерполировать значения функций определенного вида и используется в комбинаторике, теории вероятностей, теории чисел и физике; открыл формулу Эйлера — Маклорена для вычисления сумм и интегралов; решил (и впоследствии обобщил полученные результаты) Базельскую задачу, поставившую вопрос о сумме ряда