Эйлер подготовил почву для решения, проведя предварительные вычисления и прочие операции. Например, сначала он использовал промежуточные суммы, как в методе Эйлера — Маклорена, чтобы получить более точное число, чем 1,64. Благодаря своему уму Эйлер нашел шесть точных цифр, и его отправной точкой стало число:
1 + 1/2>2 + 1/3>2 + 1/4>2 + ... = 1,644934.
С другой стороны, от Эйлера, для которого возводить в различные степени число л было обычным делом и обладавшего необыкновенной памятью, не могло ускользнуть, что 1,644934 очень похоже на π>2/6. Следовательно, мы можем предположить, что, вступая на этот тернистый путь, Эйлер уже знал, к чему он придет. Ни один его современник не обладал таким преимуществом. Гениальность Эйлера позволила ему обойтись без сложения около 3000 членов исходного ряда.
БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА: КОНЕЦ
Решив Базельскую задачу, Эйлер не остановился на достигнутом. Вернемся к дзета-функции из предыдущей главы:
ξ(x) = 1 + 1/2>x + 1/3>x + 1/4>x + ... + 1/n>x + ...
При х - 1 мы получаем гармонический ряд, а при х - 2 — ряд из Базельской задачи. Эйлер углубил этот вопрос и на основе своих размышлений над Базельской задачей получил следующие выражения для ряда степеней:
ξ(4) = 1 + 1/2>4 + 1/3>4 + 1/4>4 + ... + 1/n>4 + ... = π>4/90
ξ(6) = 1 + 1/2>6 + 1/3>6 + 1/4>6 + ... + 1/n>6 + ... = π>6/945
ξ(8) = 1 + 1/2>8 + 1/3>8 + 1/4>8 + ... + 1/n>8 + ... = π>8/9450
ξ(10) = 1 + 1/2>10 + 1/3>10 + 1/4>10 + ... + 1/n>10 + ... = π>10/93555
до ξ(26) со все более сложными формулами, где n всегда стояло в степени л, соответствующей ξ(n). В 1739 году Эйлер пришел к общему выражению:
ξ(2n) = (-1)>n+1 (2π)>2nB>2n/2·(2n)!,
в котором содержались числа В>к, числа Бернулли (о них мы поговорим в главе 4). Постепенно они становятся все больше и ими все труднее оперировать; для примера достаточно записать пятидесятый член:
ξ(50) = 39 604 576 419 286 371866 998 202π>60/285 258 771457 546 764 463 363 635 252 374 414183 254 363 234 375
ПЕРВАЯ КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА В ИСТОРИИ
Ада Байрон (1815-1852), впоследствии вышедшая замуж за Уильяма Кинга и ставшая известной как Ада Кинг, графиня Лавлейс, была дочерью лорда Байрона. Однако она никогда не знала отца, поскольку родители развелись меньше чем через месяц после ее рождения. Аде ничто не мешало развивать математические способности, так как ее мать считала математику мощным противоядием от возможных склонностей к литературе: глубокая ненависть к бывшему мужу и его работе сопровождала ее всю жизнь. Главную роль в научной деятельности Ады сыграл знаменитый математик Чарльз Бэббидж (1791-1871), создатель первого компьютера в истории. Ада же сделала для этой машины рекурсивный алгоритм, который позволял вычислять числа Бернулли. С точки зрения информатики процедура, придуманная Адой, является самой настоящей компьютерной программой, первой в истории. В 1980-х годах министерство обороны США в честь женщины-ученого дало имя АДА универсальному языку программирования по стандарту MIL-STD-1815 (номер соответствует году рождения Ады).