В англосаксонских странах очень любят составлять рейтинги из десяти пунктов. Существует множество книг и телевизионных программ, посвященных десяти лучшим представителям в какой-либо области. В рамках этой традиции были созданы списки научных работ, классифицированные по изяществу, влиянию на повседневную жизнь или по интеллектуальной сложности. В числе прочих был сделан список лучших достижений Эйлера. В случае с другими учеными это часто невозможно, поскольку на такой список попросту не хватит материала, но с Эйлером такой опасности нет: его открытий будет достаточно и на более длинный список. Итак, что же стоит на первом месте? Это формула
π>2/6 = 1 + 1/2>2 + 1/3>2 + 1/4>2 + ...
в которой содержится решение Базельской задачи. Ее происхождение неизвестно, но она вполне закономерна. Зная, что такое гармонический ряд, то есть ряд, соответствующий сумме членов, обратных числам
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
и зная, что он расходится, логично задаться вопросом о сумме обратных квадратов, которые кажутся сходящимися, однако к какому конкретному числу — неизвестно:
1 + 1/2>2 + 1/3>2 + 1/4>2 + ... = 1,644934.
Не существовало ни малейшей догадки по этому вопросу. Если попробовать сложить тысячи чисел из этого ряда, будет ясно: сумма приближается к определенному числу, но в то же время настолько медленно, что практически невозможно не округлить его до сотых. Считается, что впервые о Базельской задаче упомянул итальянский священник и математик Пьетро Менголи (1626-1686), а Эйлеру о ней рассказал Иоганн Бернулли. Уже в 1729 году ученый говорил о задаче в письме Гольдбаху. В 1730 году эта задача занимала мысли всех математиков и привлекала их так же, как впоследствии — Великая теорема Ферма. Эйлер приступил к ней с таким энтузиазмом, что нашел несколько вариантов решения. Все они необыкновенно изобретательны, а некоторые являются идеалом для специалистов по анализу, особенно решение, опубликованное в 1741 году, в котором используется техника интегрального исчисления. Классическое же решение эксперты называют "третьим": оно наиболее изящное с точки зрения неподготовленного читателя. Мы немного поговорим о нем в приложении 2.
Недавно я нашел, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, зависящего от квадратуры круга... А именно, шестикратную сумму этого ряда равной квадрату периметра круга, диаметр которого 1.
Эйлер
Решение Базельской задачи стало неожиданностью для научного сообщества, и новость об этом разлетелась по свету. Мир в то время был довольно небольшим, мир образованных людей — еще меньше, а способы сообщения, кроме почты, труднодоступны.