До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 38

(1713-1784) он опубликовал перевод с английского "Циклопедии" Эфраима Чемберса, которая легла в основу Enciclopedie: она была дополнена 1700 статьями по математике, философии, литературе, музыке, а также знаменитым вступительным словом Discours priliminaire (1751). Д’Аламбер был принят в Берлинскую академию наук, Лондонское королевское общество, Парижскую академию наук, Французскую академию. Д’Аламбер привел первое доказательство (ошибочное и впоследствии исправленное Гауссом) основной теоремы алгебры: "Всякий вещественный многочлен степени n имеет n комплексных корней". Он также нашел превосходный признак сходимости рядов, в теоретической физике разработал так называемый оператор Д’Аламбера, а в теории вероятностей известен своим мартингалом Д’Аламбера. Параллельно с Эйлером он разработал способы улучшения астрономических линз.

Пока Эйлер жил в Берлине, он иногда отправлял статьи в Петербургскую академию, особенно если они касались тем, являющихся продолжением работ, в прошлом опубликованных в России. В 1763 году Эйлер представил Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum ("Легкое решение очень трудной геометрической задачи") — чисто геометрическое и довольно сложное сочинение в духе Евклида. Оно было опубликовано в 1767 году, когда ученый уже вернулся в Санкт- Петербург. В нем он впервые доказал, что в любом неравностороннем треугольнике ортоцентр (О — точка треугольника, в которой пересекаются три его высоты), центр описанной окружности (С — точка треугольника, в которой пересекаются три его срединных перпендикуляра) и барицентр, который также называют центроидом (В — точка, где пересекаются три медианы

треугольника), располагаются на одной прямой, впоследствии названной прямой Эйлера. Если треугольник равнобедренный, то на этой линии находится еще и инцентр (точка пересечения трех биссектрис). О центре окружности Эйлера ( мы поговорим ниже.

Помимо того что обнаружилось расположение на одной прямой точек О, В и С, удалось получить точное соотношение:

2d(B,C) = d(B,0).

Как видите, расстояние между барицентром и ортоцентром всегда в два раза больше расстояния между барицентром и центром описанной окружности (рисунок 11). И хотя, как мы уже сказали, инцентр располагается на той же прямой только в равнобедренном треугольнике, Эйлер нашел формулу, по которой можно рассчитать расстояние между инцентром и центром описанной окружности:

d^>2 = R(R-2r),

где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

РИС. 11

РИС. 12