До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 41
где р — плотность жидкости, v — ее векторная скорость, Е — общая энергия на единицу объема и давление. Предполагается, что вязкость потока не имеет значения, однако это нельзя утверждать с такой уверенностью для более сложных формул, например для уравнений Навье — Стокса. По мере того как уравнения становятся все более сложными — и все более близкими к реальности, логично, что количество предпосылок в них уменьшается. Уравнения Навье — Стокса известны как одна из проблем тысячелетия, за решение которой Институт Клэя готов выплатить миллион долларов.
Теорему Бернулли для гидродинамики можно вывести, проинтегрировав уравнения Эйлера. Таким образом, нет сомнений, что они имеют огромное значение, ведь из них выводится принцип полета крылатого тела, более тяжелого, чем воздух. В прошлом уравнения Эйлера применялись в изучении самых разных явлений — большого красного пятна на Юпитере, кровообращения, аэродинамики автомобилей — и продолжают использоваться сейчас. В эссе 1756 года Эйлер подробнейшим образом изучил турбины, приводимые в движение жидкостью, и это исследование до сих пор остается непревзойденным.
Уравнения Эйлера являются дифференциальными нелинейными уравнениями, с которыми не всегда легко работать. Изобретение компьютеров с их огромными вычислительными способностями дало физикам возможность находить их приближенные числовые решения. Вероятно, получить точное и элегантное решение невозможно, зато можно добиться хорошего приблизительного результата.
Компьютеры сделали неоценимый вклад в решение уравнений Эйлера и Навье — Стокса: с их помощью можно имитировать механическое движение жидкости. Тем не менее пока не представляется возможным решить уравнения ее движения.
С исторической точки зрения эти аналитические уравнения уже были рассмотрены в 1752 году Д’Аламбером и Эйлером, ис- пользовавшими их в разных областях, например в гидродинамике. Уже в 1777 году эти уравнения появляются среди других аналитических выражений ученого, хотя они были опубликованы только после его смерти. Они постулируют равенство частных производных следующим образом: предположим, что функцию ƒ(x + iy) комплексной переменной можно разделить на действительную и мнимую части:
ƒ(x + yi) = u (х,у) + iv (х,у)
и что u и v можно продифференцировать как функции двух переменных в действительной области R. Следовательно, их частные производные удовлетворяют условиям
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂x = ∂v/∂x
И наоборот, если u и v можно продифференцировать как действительные функции и при этом выполняются предыдущие равенства для производных, то ƒ — дифференцируемая функция и ƒ = u + iv.