До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 59

(1-10^>-7)^>L. Мы получаем

Здесь уже появляется постоянная е, так как

(1 - 10-^>7)10^{>7 ≈} 1/e.

Во многих старинных трактатах говорится о логарифмах Непера, или натуральных. Здесь мы имеем дело с путаницей, потому что натуральные логарифмы — это логарифмы по основанию е, в то время как все (почти) логарифмы Непера имеют основание 1/е. Это почти одно и то же, они различаются лишь знаком, а не абсолютным значением:

log_>eN = -log_>1/eN.

Сегодня для каждого положительного вещественного числа N, когда N - a^>L, мы говорим, что L — логарифм N по основанию а, и записываем: L = log_>a N.

Если мы задумаемся, то увидим, что логарифм основания всегда равен 1, и это его основополагающее свойство.

Самые распространенные основания — это а = 10,а = 2 и а- = е. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными, по основанию 2 — двоичными, по основанию е — натуральными. Для натуральных логарифмов используется знак InN вместо log N.

Важным аспектом логарифма является то, что с его помощью упрощаются арифметические вычисления. Например:

Ν_>1 · Ν_>2 = a^>L_>1 · a^>L_>2 = a^>L_>1+L_>2

⇒ log_>a(N_>1 · N_>2) = L_>1 + L_>2 = log_>aN_>1 + log_>aN_>2.

Таким образом, логарифм произведения равен сумме логарифмов его множителей.

Если мы сделаем таблицу с двумя величинами, числами и десятичными логарифмами, то сможем сложить логарифмы и при помощи таблиц легко узнать произведение. И хотя сегодня можно без труда произвести умножение электронными калькуляторами, во времена, когда они еще не существовали, операция, помогающая заменить сложные расчеты в случаях произведений больших величин на простое сложение, имела огромное практическое значение.

Проследим за хитроумными рассуждениями Эйлера, но не будем забывать, что в некоторых местах они должны быть доработаны. Позже это сделал сам ученый. Возьмем знаменитый ряд Тейлора:

sinx = x - x^>3/3! + x^>5/5! - x^>7/7! + ...

Мы знаем, что он равен нулю при х равном нулю, то есть если sinx = 0, когда х = 0, ± π, ±2π, ±3π...

Следовательно, предположив, что ряд ведет себя как многочлен, поскольку он и является длиннейшим многочленом, применение фундаментальной теоремы алгебры преобразит его в произведение одночленов вида х - α, где α — решение. Продолжим:

x - x^>3/3! + x^>5/5! - x^>7/7! + ... = K(x)(x - π)(x + π)(x - 2π)(x + 2π)...

К — неизвестная константа. Производя вычисления в правой части равенства:

x - x^>3/3! + x^>5/5! - x^>7/7! + ... = K(x)(x^>2 - π^>2)(x^>2 - 4π^>2)(x - 9π^>2)...

следует отметить, что каждый член вида х^>2 - λ^>2π^>2 справа равен нулю. А это происходит, только если

1 - х^>2/(λ^>2π^>2) = 0.

Запишем члены правого выражения в следующей форме: