До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 60
x - x>3/3! + x>5/5! - x>7/7! + ... = K(x)(1 - x>2/π>2)(1 - x>2/4π>2)(1 - x>2/9π>2)...
Теперь разделим на x:
sinx/x = 1 - x>2/3! + x>4/5! - x>6/7! + ... = K(1 - x>2/π>2)(1 - x>2/4π>2)(1 - x>2/9π>2)...
И, поскольку lim>x→0(sinx/x) = 1, получим, что K = 1. Итак:
1 - x>2/3! + x>4/5! - x>6/7! + ... = (1 - x>2/π>2)(1 - x>2/4π>2)(1 - x>2/9π>2)...
Этот ряд равен бесконечному произведению. Для Эйлера это не проблема. Подсчитаем порядок произведения и выделим члены произведения с x>2 в правой части:
- x>2/3! = -x>2/π>2 - x>2/4π>2 - x>2/9π>2 - ...
Разделив обе части на -x>2/π>2, получим
π>2/6 = 1+ 1/2>2 + 1/2>3 + 1/4>2 + ...,
что и требовалось доказать.
Эйлер был первым математиком, доказавшим тождественность ζ($) как ряда степеней и ζ($) как бесконечного произведения. Назовем р>к простое число, занимающее место k в ряде. Получим
Ниже можно увидеть, каким образом получается это равенство:
Для тех, кто знаком со сложным анализом, дзета-функция может быть расширена до мероморфной во всей комплексной области с простым полюсом s = 1, где остаток равен 1. Это дзета-функция, о которой говорил Риман и которая стала предметом его знаменитой гипотезы.
Чтобы упростить, насколько это возможно, наше объяснение, оттолкнемся от предположения, что задействованные в нем функции удовлетворяют всем необходимым условиям на производную и непрерывность.
Обозначим через S функционал (функцию функций), к которому мы применим вариационное исчисление, а через x>1, х>2 — экстремумы неизвестной функции:
S(ƒ) = ∫>x1>x2L(x>1,ƒ(x),ƒ'(x))dx.
Предположим, что решением является ƒ>0 и что функционал имеет здесь минимум; назовем α(x) функцию (которую мы будем "варьировать"), равную нулю в экстремумах x1, х>2. Поскольку в ƒ>0 функционал имеет минимум,
S(ƒ>0)≤S(ƒ>0+εα)
в окрестности ƒ>0. Вариационный размах
ƒ = ƒ>0 + εα
должен удовлетворять:
dS(ƒ>0 + εα)/dε|ε=0 = ∫>x1>x2dL/dε|>ε=0 = 0
Теперь вспомним, что
dƒ/dε = α,dƒ'/dε = α'.
Применим правило дифференцирования и проведем необходимые замены.
Получим
dL/dε = ∂L/∂ƒ dƒ/dε + ∂L/∂ƒ' dƒ'/dε = (∂L/∂ƒ)α + ∂L/∂ƒ'α'
A теперь проинтегрируем по частям и учтем предыдущую формулу:
Поскольку выражение слева — ноль, то нулем будет и выражение справа. Следовательно,
dL/dƒ = d/dx ∂L/dƒ' = 0
Таким образом, мы получили уравнения Эйлера — Лагранжа, которые в приложениях обычно приводят к дифференциальным уравнениям второго порядка.
5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Эйлер вывел свою фундаментальную формулу, из которой впоследствии получил еще несколько из простых рядов Тейлора. Напомним, что степени ведут себя так: