3. Излучение. Волны. Кванты (Фейнман) - страница 34

Введем новую величину, которая очень часто используется в физике. Она возникает в другой ситуации, когда t фиксиро­вано и волна рассматривается как функция расстояния r. Легко увидеть, что как функция r волна (29.3) тоже осциллирует. Если отвлечься от множителя 1/r, то мы видим, что Е тоже осцилли­рует, когда мы меняем положение. Тогда по аналогии с w введем

так называемое волновое число и обозначим его через k. Оно опре­деляется как скорость изменения фазы с расстоянием (радианы на метр). Время при таком изменении остается фиксированным. Роль периода здесь играет другая величина, ее можно было бы назвать периодом в пространстве, однако ее обычное назва­ние — длина волны, а обозначается она буквой l. Длина волны есть расстояние, на котором колебание поля совершает один полный цикл. Легко видеть, что длина волны равна 2p/k,потому что k, умноженное на длину волны, равно полному периоду ко­синуса. Итак, соотношение kl=2p полностью аналогично

wt_>0=2p.

В нашем конкретном случае между частотой и длиной волны имеется определенная связь, однако приведенные выше опре­деления k и w носят совершенно общий характер и применимы также в тех физических условиях, когда никакого соотношения между этими величинами нет. Для рассматриваемой нами волны скорость изменения фазы с расстоянием найти легко. В самом деле, запишем выражение для фазы j=w(t-r/с) и возьмем частную производную по r

Это соотношение можно записать разными способами:

Почему длина волны оказывается равной периоду, умножен­ному на c? Очень просто. Дело в том, что за время, равное одному периоду, волны, двигаясь со скоростью с, пройдут расстояние ct_>0>, а, с другой стороны, это расстояние должно быть равно длине волны.

В других физических явлениях, когда приходится иметь дело не со светом, такого простого соотношения между k и w может и не быть. Пусть волна движется вдоль оси x, тогда распространение синусоидальной волны с частотой w и волновым числом k описывается общей формулой вида sin(wt-kx).

Введенное понятие длины волны позволяет уточнить пределы применимости формулы (29.1). Напомним, что поле складывается из нескольких частей: одна из них спадает как 1/r, другая — как 1/r^>2, а остальные падают с расстоянием еще быстрее. Имеет смысл выяснить: когда часть, спадающая по закону 1/r, наибо­лее существенна, а остальными можно пренебречь? Естественно ответить: «Когда мы отойдем достаточно далеко от источника, потому что член 1/г^>2 будет мал по сравнению с членом 1/r». Но что значит «достаточно далеко»? В общих чертах ответ таков: все остальные члены имеют порядок величины l/rпо сравнению с первым членом 1/г. Так что когда мы находимся на расстоянии нескольких длин волн от источника, формула (29.1) описывает поле в хорошем приближении. Область, удаленную от источника на расстояние, превышающее несколько длин волн, иногда называют «волновой зоной».