V(t) = S(t) + B(t), (6.12)
где S – стоимость акций компании; В – номинал выпущенных облигаций, долг компании.
Предполагается, что стоимость компании изменяется стохастически, подчиняясь броуновскому (нормальному) распределению:
dV= μVdt + σVdW, (6.13)
где μ – показатель дрейфа стоимости фирмы, или тренд; σ – показатель волатильности.
При погашении облигации держатели должны получить сумму по следующей формуле:
D>T= min(V>T, L)= L – max(Z – V>T, 0). (6.14)
Выражение (6.14) показывает, что держатели облигаций получат либо номинал своих облигаций, либо ликвидационную стоимость компании в случае, если долг фирмы окажется больше стоимости ее активов, и рассчитаться будет невозможно. Позиция в рисковой облигации представляется в виде портфеля безрисковой облигации аналогичного номинала и короткой позиции по пут-опциону, выписанному на стоимость фирмы со страйк-ценой, равной номиналу облигации.
Используя подход Блэка – Шоулза для оценки опционов, можно получить выражение для оценки долга компании Согласно модели, стоимость долга компании будет зависеть от цены компании и стоимости облигаций в данный момент времени. Проведя математические преобразования, можно получить выражения для расчета кредитного спреда, т. е. спреда доходности облигации компании относительно некоего бенчмарка. Кредитный спред будет зависеть от стоимости компании и ее левериджа, или соотношения собственных и заемных средств – долговой нагрузки.
Факт дефолта компании может быть признан двумя путями. Р. Мертон утверждает, что дефолт может произойти только при наступлении даты выплаты долга, но никак не ранее момента погашения обязательств [Merton, 1974]. Другой подход был предложен Блэком и Коксом, они дефолтом признают падение стоимости компании ниже определенного порогового уровня, поэтому он может возникнуть в любой момент существования компании [Black, 1976; Сох, Ross, Rubinstein, 1979].
Отличие при расчете стоимости CDS или любого другого актива лишь состоит в том, что Мертон оценивает простой опцион, а Блэк и Кокс – барьерный опцион, т. е. опцион, который исполняется, как только цена базового актива достигает определенного уровня – барьера. Поскольку с помощью модели оценки опционов Блэка – Шоулза также можно оценивать барьерные опционы, то методы оценки инструментов при подходе Мертона и Блэка – Кокса в целом аналогичны. Но так как оценка барьерных опционов сложнее в принципе, то модели, использующие подход Блэка – Кокса, заметно сложнее математически. Значительно сложнее и калибровка данных моделей, поскольку стоимость барьерных опционов не монотонна относительно волатильности базового актива, поэтому задача калибровки имеет несколько решений.