Пикок разделил алгебру на «арифметическую» и «символическую». Он считал, что арифметику можно считать отправной точкой для обобщений в символической алгебре. Символическую алгебру Пикок определял так: «Алгебра может быть определена как наука об общих суждениях, производимых символическим языком». Символы алгебры могут представлять количества любого вида, а операции, над ними выполняемые, «вводятся соответствующими определениями и допущениями, которые и будут составлять первые принципы науки».
В другом фундаментальном труде «Символическая алгебра» (1837) Пикок обсуждает предмет алгебры и содержание алгебраической операции, рассматривает принципы теоретического построения алгебры как дедуктивной науки. Он пишет о том, что основные принципы алгебры должны быть такими, чтобы логические следствия, вытекающие из них, не содержали противоречий. Это требование, считает Пикок, будет выполнено, если алгебра будет проверять свои основные положения «на принципах какой-нибудь более простой и известной науки, например, арифметики». Пикок неоднократно подчеркивал существенную роль интерпретации при формальном построении алгебры. Он писал, что тем символам, к которым примешиваются алгебраические операции, можно давать не только арифметические значения, но и другие — физические, геометрические и т. д.
В 60-х годах XX в. Дж. М. Дабей обнаружил в Британском музее неопубликованную работу Бэбиджа «Философия анализа», написанную в 1821 г. Эта работа содержит многие мысли, очень близкие к идеям Пикока, которые тот изложил в 1830 г. в своей книге. Нет сомнения, что Пикок был знаком и с рукописью и со взглядами Бэбиджа. По-видимому, роль Бэбиджа в формировании новой алгебры значительнее, чем это принято считать [104].
В 1815—1817 гг. Бэбидж опубликовал в «Философских трудах» три работы по математическому анализу [3, 4, 6]. Гершель опубликовал в записках Королевского общества статью о новых применениях математического анализа. Он писал в Энциклопедии также статьи о свете, метеорологии и истории математики.
Важное значение в развитии алгебры имели также работы Д. Ф. Грегори (1813—1844), В. Р. Гамильтона (1805—1865) и других английских математиков, которые исходили из идей, высказанных на заседаниях в «Аналитическом обществе».
Итак, основным объектом изучения в алгебре становятся алгебраические операции, вводимые аксиоматически, эти операции распространяются на множества объектов различной природы. Такой подход развился из идей, зародившихся в «Аналитическом обществе», в разработке которых существенную роль сыграл Ч. Бэбидж.