Что такое бесконечность? Что мы хотим сказать, когда утверждаем, что последовательность 1, 2, 3, 4, 5... бесконечна?
В IV веке до н. э. Аристотель утверждал, что мы можем ответить на этот вопрос двумя разными способами.
Чтобы представить себе первый способ, вообразим народ, которому было дано задание, передаваемое из поколения в поколение, — считать и записывать все числа последовательности 1,2,3,4,5... Смогут ли они когда-нибудь завершить эту работу? Нет, даже если посвятят этому заданию годы, десятилетия или тысячи миллионов веков. Каким бы ни было число, до которого дойдет счет, всегда можно дописать еще одно. Если они дошли до 100, есть 101, если дошли до 1000 — есть 1001, если дошли до квинтиллиона — есть квинтиллион плюс один. Они никогда не достигнут последнего числа, просто потому, что его не существует.
Однако заметим, что записи этого гипотетического народа никогда не будут содержать бесконечного количества чисел. Сначала они составят несколько сотен, потом — несколько тысяч, еще позже — несколько миллионов и триллионов чисел, но их количество всегда будет конечным (поскольку при наличии достаточного времени записанные числа можно будет полностью просмотреть от начала до конца). Бесконечность последовательности проявляется в непостижимой характеристике: она никогда не заканчивается, это будущее недостижимое свойство, а не черта, присутствующая в настоящем. Такой способ рассмотрения бесконечности Аристотель назвал потенциальной бесконечностью, или бесконечностью в возможности.
Второй способ представления бесконечности состоит в том, чтобы рассматривать ее как особенность, присутствующую в действительности. В этом случае мы должны думать не о народе, записывающем числа из поколения в поколение, а о сверхъестественном существе, которое записало их все — абсолютно все — в почти божественном акте доброй воли (при этом неправильно говорить, что оно записало их от начала до конца, потому что конца нет). Очень сложно, если не невозможно, постичь это. Способны ли мы представить себе нечто, что присутствует целиком, но никогда, абсолютно никогда не заканчивается? Невозможно показать реальные ситуации, в которых появляется бесконечность. Вся жизнь Вселенной, начиная с момента Большого взрыва, имеет только потенциально бесконечное количество секунд. Согласно действующим теориям.
Вселенная в целом включает конечное количество субатомных частиц. То ли потому что бесконечность действительно невообразима, то ли потому что ее не существует в физической реальности, то ли по другим философским причинам Аристотель утверждал: бесконечности в действительности (то есть актуальной бесконечности) не существует.