Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности.
Хорхе Луис Борхес. «Аватары черепахи», сборник «Обсуждение» (1932)
В течение столетий, до самого XIX века, этот отказ от актуальной бесконечности единодушно поддерживался западными философскими и математическими догмами. В Средние века схоластическая мысль усилила этот отказ, добавив к нему религиозное измерение. Актуальная (или категорематическая) бесконечность, согласно схоластикам, приписывается исключительно Божеству, и претендовать на то, что человеческий ум способен охватить или понять ее целиком, — ересь.
Приведем три случая, когда проявлялся отказ от актуальной бесконечности. Первый краток и ужасен: в 1600 году Джордано Бруно был приговорен к смерти на костре в том числе из-за утверждения в одной из своих работ, что Вселенная содержит бесконечное количество миров. Второй пример: в 1638 году Галилео Галилей выдвинул математический аргумент, который, согласно видению того времени, доказывал, что актуальная бесконечность — само по себе противоречивое понятие. В рассуждении, известном как парадокс Галилея, говорится так: задумаемся еще раз о последовательности 1, 2, 3, 4, 5... В ней содержится другая последовательность, образованная квадратными числами, то есть теми, которые получаются умножением числа само на себя: 1,4,9,16, 25...
На основе аристотелевского принципа о том, что целое больше любой его части, мы должны сделать вывод, что чисел больше, чем квадратных чисел, поскольку они составляют лишь часть.
Но, говорил Галилей, если бы последовательности 1, 2, 3, 4, 5... и 1, 4, 9, 16, 25... были бесконечны в действительности, было бы возможно идеально установить пары между ними обеими. Числу 1 соответствовало бы число 1, числу 2-4, числу 3-9 и так далее.
БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЕВКЛИДА
В III веке до н. э. Евклид Александрийский написал «Начала», самую влиятельную математическую книгу всех времен (настолько, что вплоть до начала XIX века ее использовали как учебник в некоторых европейских университетах). Эта работа состоит из 13 книг, из них седьмая, восьмая и девятая посвящены арифметике. В суждении 20 девятой книги провозглашается, что существует бесконечное число простых чисел. Интересно отметить, как выражено это утверждение: «Существует больше простых чисел, чем любое предложенное [конечное] количество простых чисел». То есть в утверждении Евклида речь идет о потенциальной, а не об актуальной бесконечности. Он не говорит о том, что «существует бесконечное количество простых чисел», но «если задано любое конечное количество простых чисел, всегда существует на одно больше».