Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила (Роджерс) - страница 243
Фиг. 260.Изохронные колебания и график зависимости смещения от времени.
«Простым гармоническим движением» мы называем повторяющееся движение особого типа — движение маятника и схожее с ним движение груза на пружине, — это не просто любое движение с постоянным периодом. (Кроты, выползающие из-под земли каждое утро в поисках пищи и возвращающиеся каждую ночь обратно под землю, совершают в известном смысле «изохронное» движение — его период составляет 24 часа, как бы ни были глубоки их норы, — но это, разумеется, отнюдь не простое гармоническое движение.) Если проанализировать движение маятника, обратившись к геометрии, то можно установить важную характеристику этого движения.
Движение маятника характеризуется переменным ускорением, которое всегда направлено к среднему положению и изменяется прямо пропорционально расстоянию от этого положения.
Если s — расстояние вдоль траектории, скажем, груза маятника, а а — ускорение, то мы найдем a ~ s, или а = —k>2s, где k — вещественная постоянная.
Знак минус показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную отклонению. (Когда груз отклонен вправо — мы считаем такие отклонения положительными, когда ускорение направлено влево, мы приписываем ему отрицательное значение.)
Фиг. 261.Разнообразные системы, совершающие простые гармонические движения.
Механика движения маятника
Чтобы показать, что для груза маятника а ~ s (при малых амплитудах), рассмотрим действующие на него силы. Сила натяжения нити направлена по радиусу и не может изменить скорость груза. Кроме этой силы, на груз действует только притяжение Земли, вес груза, направленный вертикально вниз. Разложим этот вектор на компоненты F>1 и F>2:
F>1 направленная вдоль дуги, придает грузу ускорение,
F>2 направленная вдоль радиуса, уравновешивает натяжение нити.
Из рассмотрения подобных треугольников (фиг. 262) находим
СИЛА F>1 ПРИДАЮЩАЯ УСКОРЕНИЕ / ВЕС Mg = РАССТОЯНИЕ ПО ГОРИЗОНТАЛИ х / ДЛИНА L
F>1/Mg = x/L
Следовательно,
F>1 = Mg∙x/L
и
УСКОРЕНИЕ ГРУЗА = СИЛА/МАССА = — F>1/M = (-Mg∙x/L)/M = — g∙x/L
Таким образом, мы установили, что а направлено к положению равновесия и что а ~ х, но мы не получили соотношения a ~ s вдоль траектории движения маятника. При больших отклонениях маятника его движение не является простым гармоническим движением. При малых отклонениях оно почти в точности совпадает с простым гармоническим движением, и х (горизонтальное смещение груза) почти совпадает с криволинейной дугой s (отклонением груза, измеренным вдоль его траектории).