Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила (Роджерс) - страница 244

Фиг. 262.Силы, действующие на груз маятника.

В таком случае мы можем перейти от а = —(g/L)∙x к а = —(g/L)∙s

(обе величины примерно одинаковы для маятника в данном случае), а это и есть наше определение простого гармонического движения: анаправлено к положению равновесия и а ~ смещению s.

Мы описываем это свойство выражением

а = — k^>2s,

где k^>2 — постоянная.

Отсюда можно показать, что период Т дается соотношением

T = 2π/k

(Это легче всего сделать с помощью математического анализа; см. ниже. Существуют доказательства, в которых не прибегают к математическому анализу, но они ведут к цели обходным и весьма громоздким путем, см. учебники по общей физике.) Поэтому каждый раз, встречая систему, в которой действие сил приводит к соотношению а = —k^>2s, мы можем сразу сказать, что такая система способна совершать простое гармоническое движение с периодом 2π/k.

Простые гармонические движения и закон Гука

Теперь вернемся к замечанию, которое было сделано в задаче 1.

Предположим, имеется груз, который подвешен на пружине, подчиняющейся закону Гука. Натяжение пружины в точности уравновешивает вес груза, когда он находится в состоянии покоя или когда, совершая колебания, проходит через положение равновесия. Во всех других положениях существует небольшое натяжение (со знаком + или —), пропорциональное удлинению (по закону Гука); оно придает грузу ускорение. Ускорение всегда направлено к положению равновесия и меняется прямо пропорционально смещению от этого положения (по закону Гука). Таким образом, мы имеем соотношение а = —k^>2s, которое как раз и соответствует движению, называемому нами простым гармоническим колебанием.

Период колебания 2π/k можно вычислить, зная массу груза М и «жесткость» пружины К, равную отношению (сила)/(удлинение); это отношение представляет собой постоянную, определяющую наклон прямой, которая выражает закон Гука. Добавочная сила, соответствующая добавочному удлинению s, равна Ks, а сообщаемое ею ускорение равно — ks/M. Следовательно, k^>2 равно K/M, и Т дается выражением

Т = 2π∙√(ЖЕСТКОСТЬ» ПРУЖИНЫ К / МАССА М).

Это соотношение позволяет вычислить период простого гармонического колебания. Кроме того, у нас появляется превосходный способ оценить жесткость пружины по измеренному периоду колебаний. Мы пользуемся им, измеряя g с помощью маятника: в этом случае сила земного притяжения дает эквивалентную «жесткость пружины», равную Mg/L. В опыте Кавендиша, который позволяет измерить гравитационную постоянную G (см. гл. 23