, с которой льется излучение. Фактически ее поверхностная площадь должна быть в 81 раз больше, чем у Солнца. Это должен быть красный гигант, который за счет огромной поверхностной площади восполняет дефицит температуры. Теперь вернемся к нашим уравнениям. Чему равна площадь поверхности сферы? Она равна 4π
r>2, где
r – радиус сферы. Возможно, вы изучали это уравнение в средней школе. Дальше начинается самое интересное. Если светимость – это энергия, излучаемая в единицу времени, а энергия, излучаемая в единицу времени
на единицу площади, равна
σT>4, то мы получили уравнение, позволяющее вычислить светимость Солнца:
L>Солн = σT>Солн>4 × (4πr>Солн>2).
Можно составить схожее уравнение и для другой звезды. Обозначим ее светимость звездочкой, L>*. В таком случае уравнение для вычисления светимости этой звезды – L>* = σT>*>4 × (4πr>*>2). Теперь у меня есть уравнения для обеих. Более того, я постулировал, что L>Солн равна L>*. Я привел именно такой пример, чтобы подчеркнуть, что мне даже не требуется знать поверхностную площадь Солнца – в данной задаче речь идет лишь о соотношениях величин. Можно удивительно много узнать о Вселенной, просто присмотревшись к соотношениям.
Давайте разделим два уравнения: L>Солн/L>* = σT>Солн>4 × (4πr>Солн>2)/ σT>*>4 × (4πr>*>2). Что дальше? Я сокращу равные множители в числителе и знаменателе дроби в правой части уравнения. Первым делом сокращу постоянную. Меня не интересует ее конкретное значение, поскольку мы сравниваем два объекта и эта константа присутствует в характеристиках обеих звезд. Поэтому ее можно сократить. Кроме того, сокращается число 4 и число π. Переходим в левую часть уравнения: что такое L>Солн/L>*? Это выражение равно 1, поскольку, как было заявлено, две звезды обладают одинаковой светимостью и их соотношение равно 1. Итак, остается значительно более простое уравнение: 1 = T>Солн>4 × r>Солн>2/T>*>4 × r>*>2. Температура Солнца равна 6000 К, а температура другой звезды – 2000 К. Естественно, 6000>4, деленное на 2000>4, равно 3>4, то есть 81. Получается, 1 = 81r>Солн>2/r>*>2. Умножим обе части уравнения на r>*>2. Имеем r>*>2 = 81r>Солн>2. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получится r>* = 9r>Солн. Радиус более холодной звезды в 9 раз больше, чем у Солнца! Это ответ. Если переосмыслить его в терминах площади, то поверхностная площадь у этой звезды должна быть в 81 раз больше солнечной, а радиус – в 9 раз больше солнечного. Члены в уравнении остаются прежними, но мы подставляем разные переменные в разные части уравнения. Вот и все, чем мы здесь занимались.