На плечах гигантов (Хокинг, Эйнштейн) - страница 131
Далее, как это обычно делается в статических задачах, примем, что
Остается определить те компоненты потенциала гравитационного поля, которые характеризуют чисто пространственно-геометрические свойства нашего континуума (g>11, g>12, …, g>33). Из введенного допущения о равномерности распределения масс, создающих поле, следует, что и кривизна искомого метрического пространства должна быть постоянной. Таким образом, при заданном распределении масс искомый замкнутый континуум (х>1, х>2, х>3 при постоянном х>4) должен быть сферическим пространством.
Такое пространство можно получить, например, если исходить из евклидова пространства (ξ>1, ξ>2, ξ>3, ξ>4) четырех измерений с линейным элементом dσ. В этом случае
(9)
Рассмотрим в этом пространстве гиперповерхность
(10)
где R – постоянная. Точки этой гиперповерхности образуют трехмерный континуум – сферический объем с радиусом кривизны R.
Четырехмерное евклидово пространство, из которого мы исходили, служит только для удобного определения нашей гиперповерхности. Нас интересуют только точки этой поверхности, метрические свойства которой должны совпадать со свойствами физического пространства с равномерным распределением материи. Для описания этого трехмерного континуума воспользуемся координатами ξ>1, ξ>2, ξ>3 (проекции на гиперплоскость ξ>4 = 0), так как, в силу (10), можно ξ>4 выразить через ξ>1, ξ>2, ξ>3. Исключая ξ>4 из (9), получаем следующее выражение для линейного элемента сферического пространства:
где δ>μν = 1, если μ = ν, и δ>μν = 0, если μ =/ ν,
.
Выбранные координаты удобны, когда речь идет об исследовании окрестности точки ξ>1 = ξ>2 = ξ>3 = 0.
Итак, теперь у нас есть также и линейный элемент искомого четырехмерного пространственно-временного мира. Очевидно, для потенциалов g>μν, у которых оба индекса отличаются от 4, мы должны написать
(12)
Полученное равенство вместе с соотношениями (7) и (8) вполне определяет свойства масштабов, часов и лучей света в рассматриваемом четырехмерном мире.
Приведенные выше рассуждения показывают, что теоретически можно построить материю только из гравитационного и электромагнитного полей, не вводя никаких гипотетических дополнительных членов в духе теории Ми. Эта возможность представляется особенно содержательной потому, что она освобождает нас от необходимости введения особой постоянной α для решения космологической проблемы. С другой стороны, присутствует и своеобразная трудность. Так, если применить уравнение (1) к случаю статического сферически симметричного поля, то мы получаем на одно уравнение меньше, чем нужно для определения