Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора (Санчес) - страница 22

Первое доказательство теоремы, которую традиция приписывает Пифагору, было эмпирическим. Берется треугольник со сторонами a, b, c (катеты и гипотенуза), на которых строятся три квадрата согласно строгим правилам греческой геометрии (см. рисунок 6). Из этих квадратов складываются два различных квадрата. Первый получается из двух квадратов, построенных на катетах и четырех прямоугольных треугольников, каждый из которых равен исходному треугольнику (см. рисунок 7). Второй квадрат состоит из тех же четырех треугольников и квадрата, построенного на гипотенузе (см. рисунок 8). Если из обоих квадратов убрать эти треугольники, площадь центрального квадрата второго (с^>2) будет равна площади двух малых квадратов первого (b^>2 + а^>2), что доказывает теорему Пифагора.

РИС. 6

РИС. 7

РИС. 8

РИС. 9

В противовес такому графическому доказательству, основанному на теории пропорций Пифагора, — теории несовершенной, так как она применима только к соизмеримым количествам, — некоторые историки математики выдвигают другое доказательство, алгебраического характера. Пифагор мог доказать теорему через подобие треугольников — на рисунке 9 треугольники АВС, АСН и СВН — с пропорциональными соответствующими сторонами. Возьмем треугольник АВС с прямым углом С, для которого отрезок СН представляет собой высоту, опущенную на гипотенузу, и делит ее на отрезки d и V — проекции, соответственно катетов а и b. Прямоугольные треугольники АВС, АСН и СВН имеют три общие стороны: каждый из треугольников имеет по две стороны, общие с другими, а их острые углы равны, так как они либо общие, либо составляют вместе прямой угол. Таким образом, треугольники подобны.

Подобие треугольников можно применить двумя способами.

— Подобие треугольников АВС и АСН: два треугольника подобны, когда два или более угла у них конгруэнтны (что доказал Евклид):

b/b' = c/b

b2 = b'c.

— Подобие треугольников АВС и СВН:

a/a' = c/a

a2 = a'c.

из чего вытекает так называемая теорема катета. Суммируем:

а^>2 + b^>2 = а'с + b'с = с(а' + b'),

но (а' + b') = с, из чего следует

а^>2 + b^>2 = с^>2.

Евклид жил в Александрии около 300 года до н.э. и был автором «Начал» (Stoicheia) — труда, оказавшего огромное влияние на развитие математики и науки в целом. В этой книге он собрал все геометрические знания своей эпохи, не считая собственных доказательств, изложенных строго и изящно, включая определения, формулировки и общие сведения. Этот труд был не просто блестящим компендиумом, а серьезной работой по упорядочиванию геометрических знаний. Возможно, именно поэтому вплоть до последнего времени эта книга оставалась эталоном геометрического трактата. «Начала» занимают второе место по количеству изданий и переводов, уступая только Библии. К настоящему времени они выдержали более тысячи переизданий.