Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора (Санчес) - страница 25

Спустя два с половиной тысячелетия после открытия теорема Пифагора находит самые разные математические и научные способы применения. Это математическое достижение, оказавшееся, возможно, столь живучим благодаря своей простоте, сохраняет свою важность при вычислении длин, площадей и объемов разнообразных фигур. В квадрате со стороной х диагональ будет равна х√2; в прямоугольнике со сторонами х и у диагональ равна √(х^>2 + у^>2); в параллелограмме (например, в коробке из- под обуви) размерами х, у, z диагональ составит √(х^>2 + у^>2 + z^>2); в конусе с высотой h и радиусом основания r образующая равняется √(h^>2 + r^>2)... и так можно продолжать очень долго.

РИС. 13

РИС. 14

Теорема Пифагора также лежит в основе декартовой системы координат на плоскости и в пространстве и позволяет определить расстояние d(P,Q) между двумя точками Р= (x_>1,y_>1) и Q= (х_>2, у_>2), как показано на рисунке 13. Применяя теорему, получаем:

Расстояние (P,Q) = √((x_>2 - x_>1)^>2 + (y_>2 - y_>1)^>2)·

В любом расчете, который предусматривает применение функций, проявляется пифагорово отношение, учитывая, что y = ƒ(x) в декартовом выражении. Теорема используется и в тригонометрии. С величинами углов прямоугольного треугольника связаны такие функции, как синус, косинус, тангенс... (см. рисунок 14), так что:

sin А = a/c cos А = b/c tg А = a/b.

Таким образом, в тригонометрических терминах теорему Пифагора можно выразить как отношение sin^>2 А + cos^>2 А = 1. Теореме можно найти применение в топографии, картографии, навигации — морской или воздушной, — а также, конечно, в архитектуре, инженерном деле и во всех областях человеческой деятельности, где требуется расчет размеров. Чтобы показать исключительную важность теоремы в тригонометрии, можно привести следующий рисунок. Кроме того, что на нем мы видим круг и прямоугольный треугольник, катеты которого представляют собой синус и косинус, этот рисунок демонстрирует нам и многие другие величины, соответствующие большинству тригонометрических функций. Там можно найти тангенс, представляющий собой соотношение между синусом и косинусом, три взаимозависимых функции: секанс (то есть 1, деленное на косинус), косеканс (функция, обратная синусу) и котангенс (функция, обратная тангенсу). Таким образом, благодаря вездесущей теореме Пифагора приведенный на рисунке прямоугольный треугольник позволяет вывести очень много интересных соотношений, среди которых шесть тригонометрических функций.

tg^>2θ +1 = sec^>2θ,

ctg^>2θ +1 = cosec^>2θ,

(tg θ +1 )^>2 + (ctg θ +1 )^>2 = (sec θ + cosec θ)^>2.

РИС. 15