Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора (Санчес) - страница 26

РИС. 16

Нет сомнений, что пифагорово соотношение тесно связано с конкретной геометрической фигурой — прямоугольным треугольником. Однако если принять во внимание классическое изображение этой теоремы в виде «ветряной мельницы», где три квадрата составлены так, что их стороны образуют катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, сами собой появляются некоторые вопросы. Что будет, если использовать квадраты для построения любого треугольника? Что будет, если они образуют параллелограмм?

РИС. 17

РИС. 18

Если соединить тремя отрезками квадраты при прямоугольном треугольнике, образуется шестиугольник, в котором

появятся три новых треугольника с площадями Т_>1, Т_>2 и Т_>3 (см. рисунок 15). Каковы их площади? Во всех случаях их площади в точности равны площади исходного треугольника: Т_>1 = Т_>2 = Т_>3 = Т. На рисунке 16 показано, что Т = Т_>1, так как у обоих треугольников одинаковы основание и высота. Для других треугольников также действительно это соотношение. Если взять любой произвольный треугольник АВС, то можно построить на его сторонах три квадрата и задать вопрос, каково соотношение площадей этих квадратов. Возьмем, к примеру, треугольник с острым углом (A < 90°). Решение показано на рисунке 17. На нем проведены три высоты треугольника. Эти высоты продолжены так, чтобы соответствующие прямые делили каждый квадрат, построенный на сторонах треугольника, на два прямоугольника. Подставляя длины сторон, получаем, что площадь верхнего правого прямоугольника равна с · (a cos В). Удивительно, что такова же и площадь нижнего правого прямоугольника. Площади секций слева равны b · (a cos С). Добавляем еще два сегмента с площадями b · (с cos А) и получаем результат:

a^>2 = b^>2 + c^>2 - 2 · b · c · cosA,

по закону косинуса.

Таким образом, если А = 90°, cos 90°= 0, и мы получаем b^>2 + с^>2 = а^>2, известное пифагорово соотношение. Таким образом, закон косинуса — это продолжение теоремы Пифагора. Еще одно удивительное свойство проявляется, если построить четыре квадрата на сторонах параллелограмма. Как можно видеть на рисунке 18, сумма площадей этих квадратов равна сумме площадей двух квадратов, построенных на диагоналях параллелограмма.

Закончить описание современных областей применения одного из самых великих математических достижений в истории можно парой развлекательных задачек. Во-первых, теорема Пифагора позволяет ответить на вопрос, которым люди задавались с того момента, как узнали о кривизне земной поверхности: на каком расстоянии от нас находится видимый горизонт? Чтобы ответить, надо знать лишь высоту над уровнем моря, на которой находится наблюдатель. К примеру, если он стоит, озирая окрестности, на горе высотой 1000 м, можно применить нашу теорему следующим образом: